高三数学第一章集合与常用逻辑用语复习学案（学生版）

第一章集合与常用逻辑用语

【高考考情解读】

1.本章在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.

2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 【知识梳理】

1． 集合的概念、关系与运算

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

(2)集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

(3)集合的运算：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A. 2． 四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理． 3． 充分条件与必要条件

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件． 4． 简单的逻辑联结词

(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；￢p和p为真假对立的命题．

(2)命题p∨q的否定是(￢p)∧(￢q)；命题p∧q的否定是(￢p)∨(￢q)． 5． 全称量词与存在量词

“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，￢p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?

x∈M，￢p(x)”.

【典型题型解析】

考点一 集合间的关系及运算

例1 (1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B

中所含元素的个数为 A．3

( )

B．6 C．8 D．10

(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图 中阴影部分表示的集合为 A．[－1,0]

( )

B．(－1,0)

C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)

(1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素

的个数是 A．1

( )

B．3 C．5 D．9

(2)设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|y＝x}，则 右图中的阴影部分表示的集合为 A．{x|－1－1，x∈R}

考点二 四种命题与充要条件

例2 (1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

(2)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

( )

( )

( )

1 (1)(2012·天津)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的

2

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

(2)给出以下三个命题： ①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；

③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 A．①

考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词

例3 (1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

( )

B．②

C．③

D．②③

( )

2

第一章集合与常用逻辑用语

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

1

(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，

2则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是 A．p∧q

B．p∨(￢q)

( )

C．(￢p)∧(￢q)

D．p∨q

(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1

－x2，则下列命题中为真命题的是 A．p∧q

B．￢p∧q D．￢p∧￢q

( )

C．p∧￢q

(2)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x2若0＋2ax0＋2－a＝0”．命题“(￢p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是 A．a≤－2或a＝1 C．a>1

B．a≤2或1≤a≤2 D．－2≤a≤1

( )

1． 解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素

的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助 数轴和韦恩图加以解决．

2． 判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应

关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

3． 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本

命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

4． 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是

互相对立的、一真一假的. 【当堂达标】

1． 已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于

( )

3

A．{1＋3i,1－3i}

B．{3－i} D．{1－3i}

( )

C．{1＋23i,1－23i} 2． 下列命题中正确的是

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 1π

B．“sin α＝”是“α＝”的充分不必要条件

26

C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α D．命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”

3． 若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2

A．a>－2 C．a>－1

【点击高考】 一、选择题

1． (2013·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B等于 ( )

A．{1,4}

B．{2,3}

C．{9,16}

D．{1,2}

( )

B．a≤－2 D．a≥－1

2． (2012·安徽)命题“存在实数x，使x>1”的否定是 ．．

A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x ，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1

3． (2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

?

?

( )

?1x?2

4． (2013·湖北)已知全集为R，集合A＝?x|?2?≤1?，B＝{x|x－6x＋8≤0}，则A∩?RB等

于 ( )

A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0

5． 已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠?，则m等于

A．1

B．2 D．1或2

( )

5

C．1或

2

4