第二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程 21.2.1 配方法(第1课时)
一、教学目标
1．探索利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤． 2．能够利用配方法解一元二次方程．
二、教学重点及难点
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把x2?ax形式的代数式配成完全平方式．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《油漆刷盒子》动画，《解方程x2＋6x＋4=0的过程》动画。
五、教学过程
【创设情景，提出问题】
问题1 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
师生活动：学生独立分析题意，发现若设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10?6x2?1500．教师引导学生找出等量关系．
设计意图：创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲．
【合作探究，形成知识】
问题2 你会解上面的一元二次方程吗？是用什么方法？
师生活动：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．
10?6x2?1500.
整理，得x2?25.
根据平方根的意义，得x?±5，即x1??5，x2?5. 归纳总结：一般地，对于方程x2?p， （Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根x1??p，x2?p； （2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1?x2?0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
设计意图：用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(x?m)2?n(n≥0)，运用直接开平方法可以解．这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础．
问题3 对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？ （1）(x+3)2?5；
师生活动：独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到x+3??5，于是得到2x1??3?5，x2??3+5．
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的“降次”思想——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．
归纳总结：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成x2?p或(mx?n)2?p(p≥0)的形式，那么可得x??p或mx?n??p．
设计意图：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将x?px?q?0的形式转化为(x?m)2?n(n≥0)的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心．
【例题分析，综合应用】 例 解方程 x2-8x+1=0． 解：移项，得x2-8x= -1．
配方，得x2?8x?42??1?42，即(x-4)2=15. 由此可得x?4??15． ∴x1?4?15，x2?4+15. 教师引导：学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中移项后可以化为x2?8x??1，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到x2?8x?42??1?42，即(x-4)2=15．
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x?n)2?p（Ⅱ）的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根x1??n?2p，x2??n?p；
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1?x2??n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x?n)≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握用配方法解一元二次方程． 【练习巩固，能力提高】
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．(x-2)2+3 B．(x-2)2-3 C．(x+2)2+3 D．(x+2)2-3 2．方程x2+4x-5=0的解是________．
3．已知(x+y)(x+y+2)-8=0，求x+y的值．若设x+y=z，则原方程可变为__________，?所以求出z的值即为x＋y的值，所以x+y的值为__________．
4．填空：
（1）x2?10x?___??x?＿?； （2）x2?12x?___??x?＿?；
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