3cos x[解] 由y＝，得ysin x－3cos x＝－2y，
2＋sin x所以y＋3sin(x－φ)＝－2y(其中φ为辅助角)， 所以sin(x－φ)＝
－2y2
y2＋3
，
又|sin(x－φ)|≤1，
?－2y??－2y?2
所以?2?≤1，?2?≤1，
?y＋3??y＋3?
解得－1≤y≤1，故ymax＝1，ymin＝－1.
4．y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型函数的最值
对于y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c，令sin x＋cos x＝t，t∈[－2，2 ]，因为(sin x＋cos x)＝1＋2sin xcos x，所以sin xcos x＝
2
t2－1
2
，则函数就变为y＝at＋
b·
t2－1
2
＋c的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于
形如y＝a(sin x－cos x)＋bsin xcos x＋c的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．
[典例4] 求函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值． [思路分析]
[解] y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x， 令t＝sin x＋cos x，则t∈[－2，2]， 且sin xcos x＝
t2－1
2
，
所以y＝16－12t＋9×
t2－11
＝(9t－24t＋23)．
22
2
47
故当t＝时，ymin＝. 32
5．通过换元转化为代数函数的最值
5
通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．
3sin x[典例5] 已知x∈(0，π)，求函数y＝2的最大值．
1＋3sinx[思路分析] 令sin x＝tt3
→转化为求代数函数y＝的最值
1＋3tt→利用基本不等式求最值 [解] 令sin x＝t(0 3t3 ≤2＝1＋3t1 ＋3t231 ＝， 21 ·3ttt当且仅当t＝31时等号成立．故ymax＝. 32 2 [典例6] 已知x∈(0，π)，求函数y＝sin x＋的最小值． sin x[思路分析] 令sin x＝t(0 则原函数可化为y＝t＋， tt2－2t－2t＋2 因为y′＝1－2＝2＝， 2 ttt2 2 所以当0 t2 即函数y＝sin x＋的最小值是3. sin x温馨提示 y＝sin x＋ 型三角函数求最大值时，当sin x>0，a>1时，不能用基本不等式求最sin xa值，宜用函数在区间上的单调性求解． 6
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