【答案】C
(提示：由折叠和正方形的性质可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°．又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．故结论①正确．∵正方形ABCD的边长为12，BE＝EC．∴BE＝EC＝EF＝6．设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，在Rt△BEG中，由勾股定
222222
理，得EG＝BE＋BG，即(x＋6)＝6＋(12－x)，解得，x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴GB＝2AG．故结论②正确．∵BE＝EF＝6，∴△BEF是等腰三角形．易知△GDE不是等腰三角形，11EF∴△GDE和△BEF不相似.故结论③错误．∵S△BEG＝BE·BG＝·6·8＝24，∴S△BEF＝·S△BEG22EG672
＝·24＝.故结论④正确．综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个．故选C．) 10511．(2015河南)如图，正方形ABCD的边长是l6，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B’处，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB’的长为________．
【答案】16或45
(提示：⑴如答图1，若DB’＝DC，是等腰三角形，则DB’＝DC＝16；⑵如答图2，若DB’＝CB’，过点B’作MN⊥CD于点M，交AB于点N，则CM＝DM＝8＝BN，又∵AE＝3，∴BE＝13．∴EN＝5．由翻折可知EB’＝13，在Rt△EB’N中，由勾股定理可求B’N＝12，∴B’M＝4，在
Rt△DB’M中，B’D＝B’M2＋DM2＝42＋82＝45.⑶如答图3，若CB’＝CD，此时，点F与点C重合，与已知不符．综上所述，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB’的长为16或45．)
12．(2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP. ⑴请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ ⑵请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
⑶在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.
【答案】
解：⑴四边形APQD为平行四边形； ⑵OA＝OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝PQ,∠ABO＝∠OBQ＝45°, ∵OQ⊥BD，
∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°, ∴OB＝OQ，
∴△AOB≌△OPQ，
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ， ∴∠AOP＝∠BOQ＝90°， ∴OA⊥OP；
⑶如图，过D作OE⊥BC于E．
①如图1，当点P在点B右侧时，则BQ＝x＋2，OE＝1x＋2112
∴y＝··x．即y＝(x＋1)－，
2244又∵0≤x≤2．
∴当x＝2时，y有最大值为2；
2－x②如图2，当点P在B点左侧时，则BQ＝2－x，OE＝，
212－x112
∴y＝··x，即y＝－(x－1)＋，
2244又∵0≤x≤2．
1∴当x＝1时，y有最大值为；
4
综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．
x＋2
2
,
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