业精于勤 荒于嬉
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题纸指定位置上. ．．
（1）档x?0时，用o(x)表示比x的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
A、x?o(x2)?o(x3) B、o(x)?o(x2)?o(x3) C、o(x2)?o(x2)?o(x2) D、o(x)?o(x2)?o(x2) （2）设函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
（3）设Dk是圆域D??(x,y)x2?y2?1?位于第K象限的部分,记
Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4),则( )
DK A.I1?0 B.I2?0 C.I3?0 D. I4?0 （4）设?an?为正项数列,下列选项正确的是( )
A.若an?an?1，则?(?1)an收敛 B.若?(?1)n?1an收敛，则
n?1n?1n?1??an?an?1
C.若?an收敛，则存在常数P?1,使limnpan存在
n?1n???D.若存在常数P?1,使limnan存在,则?an收敛
n??p?n?1（5）设矩阵A.B.C均为n阶矩阵，若AB=C,则B可逆，则（ ）
自强不息 - 1 - 止于至善
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A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????（6）若矩阵?aba?和?0b0?相似的充分必要条件为（ ）
?1a1??000?????A.a?0,b?2 B.a?0,b为任意数 C.a?2,b?0 D.a?2，b为任意数
（7）设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32), 则Pj?P??2?Xj?2??j?1,2,3?,则（ ）
A.P1?P2>P3 B.P2>P1>P3 C.P3>P1>P2 D.P1>P3>P2 (8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为：
X P
则P?X?Y?2??( ) A.
1111 B. C. D. 128620 121 142 183 18
X P -1 130 131 13 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸指定位置上. ．
（9）设曲线y?f(x)和y?x2?x在点（0,1）处有公共的切线，则
limnf(n??n)=______. n?2自强不息 - 2 - 止于至善
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(10)设函数z?z?x,y?由方程(z?y)x?xy确定，则(11)求?1???z=________. ?x(1,2)lnxdx=__(1?x)214
(12) 微分方程y???y??y?0的通解为y?_____
（13）设A=（aij）是三阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子势，若Aij+aij=0Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A=_________. (14)设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)?____。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置．．．上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当x?0时，1与为等价无穷小，求n与a的值。 ?coscx?os2x?cos3x
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（16）（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?aaVx,Vy分(?0)及x轴所围成的平面图形，别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算??x2dxdy。
D13
自强不息 - 4 - 止于至善
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