第章 直角坐標與二元一次方程式的圖形
2
1 坐標平面不規則圖形面積（難度★★★☆☆）
(1) 直角坐標平面上有三點A（－3 , 2）、B（－1 ,－2）、C（4 , 5），則△ABC的面積為多少？ (2) 直角坐標平面上有三點P（2011 , 2016）、Q（2013 , 2012）、R（2018 , 2019），則△PQR的面積為多少？
(1)
A（－3 , 2）
如上圖， △ABC＝7×7－
5×72×43×7－－ 2223521＝49－－4－＝17
22y C（4 , 5）
(2)
R（2018 , 2019）
P（2011 , 2016） x
B（－1 ,－2） Q（2013 , 2012）
將x坐標同減2014，y坐標同減2014，
得P（－3 , 2）、Q（－1 ,－2）、R（4 , 5）， 所以△PQR＝17
2 分點公式（難度★★★☆☆）
直角坐標平面上有兩點A（－3 , 8）、B（5 ,－4），若C點在AB上，且AC：CB＝5：3，則C點坐標為何？
1C點在AB上： ○
分點公式： a ： b C B（x2 , y2） 5 ： 3
A（－3 , 8）
C
B（5 ,－4）
（x1 , y1） AC（ax2＋bx1ay＋by1 , 2） a＋ba＋b5×5＋3×（－3）5×（－4）＋3×81 , ）→ C（2 , ）
5＋35＋322C點在B點右側： ○ 2 ： 3 2x＋3×（－3）
5＝，x＝17 A（－3 , 8） B（5 ,－4） C（x , y）
2＋3C（
2y＋3×8，y＝－22 2＋3C（17 ,－22）
－4＝
5
3 直線圖形（難度★★★☆☆）
直角坐標平面上有三條直線L1、L2、L3，它們分別為二元一次方程式2x＋3y－15＝0、
x－4y＋7＝0、y－1＝0的圖形，且L1與L2相交於P點、L2與L3相交於Q點、L1與L3相交於R點，則：
(1) △PQR面積為多少？
(2) 若直線M通過P點，交QR於S點，使得△PQS：△PRS之面積比為1：3，則S點的坐標為何？
(1) L1：2x＋3y－15＝0
x y 0 5 15 2L2：x－4y＋7＝0 x 0 －7 y
7 4y P（L3 L2 Q（－3 , 1） 3929, ） 11110 0
(i) L1與L2交點：
R（6 , 1）
x
L1 1 15……○?2x＋3y＝ ?2 ……○x－4y＝－7?1式－○2式×2得y＝○
(ii) L1與L3交點：
1 15……○?2x＋3y＝ ?2 ……○1?y＝293939292式得x＝，代入○，所以P（ , ）。
11111111(iii) L2與L3交點：
1 ?x－4y＝－7……○ ?2 ……○y＝1?2式代入○1式得x－4＝－7，x＝－3 ○
所以Q（－3 , 1）。
2式代入○1式得2x＋3＝15，x＝6 ○
所以R（6 , 1）。
所以△PQR＝〔6－（－3）〕×（(2)【解一】
QR＝6－（－3）＝9
因為△PQS和△PRS為同底等高， 又△PQS：△PRS＝1：3
29118181－1）×＝9××＝ 11211211【解二】
Q
S
T
R （6 , 1）
（－3 , 1）
所以QS：SR＝1：3。
13故S（－3＋9×, 1）→ S（－, 1）
44QR的中點T（
6＋（－3）1＋13, ）→（, 1） 2223（－3）＋2, 1＋1）→（－3, 1）QT的中點S（
242
6
4 二元一次方程式圖形（難度★★★★☆）
如右圖，兩直線L1、L2分別為二元一次方程式x＋ay＋b＝0 與x＋cy＋d＝0的圖形，則： (1)寫出a、b、c、d的正負關係。 (2) a與c、b與d的大小關係為何？
(1) L1：x＋ay＋b＝0 0 b－ y aL2：x＋cy＋d＝0 x x －b 0 y
O x L2 L1
y －d 0 d－ y 0 c1－b＜0，所以b＞0； 由圖可知：○b－＜0，所以a＞0。 a2－d＞0，所以d＜0； ○
d－＞0，所以c＞0。 c故a＞0，b＞0，c＞0，d＜0。
1因為b＞0，d＜0，所以b＞d。 (2) ○
2【解一】 ○
由圖可知｜－－
db｜＜｜－｜，且
ac（0 ,－d） cL2（－b , 0） （－d , 0） b（0 ,－） aL1x
【解二】
db－db＞0，－＜0，所以0＜＜。
acac又｜－d｜＞｜－b｜→－d＞b＞0
所以c＞a。
1因為L1的斜率為－，
a1 L2的斜率為－，
c1111且－＞－，所以＜，c＞a。
caca7
（補充） 5 兩直線平行（難度★★★★★）
若直線L為二元一次方程式y＝ax＋b的圖形，且直線L上的任意點為（2t＋1 ,－4t－5），則： (1) 此二元一次方程式為何？
(2) 若有一直線M通過點P（－2 ,－4），且與直線L平行，則直線M是哪個二元一次方程式的圖形？
(1) 【解一】
令t＝0，得（1 ,－5）；t＝1，得（3 ,－9）。
1 ?－5＝a＋b……○代入y＝ax＋b得?
2 －9＝3a＋b……○?2式－○1式得－4＝2a，a＝－2 ○
1式得－5＝－2＋b，b＝－3 代入○
所以此二元一次方程式為y＝－2x－3。
【解二】
令x＝2t＋1，則t＝
x－1 2y＝－4t－5
x－1＝－4×（）－5
2＝－2（x－1）－5 ＝－2x－3
所以y＝－2x－3。
(2) 因為直線M平行直線L，且直線L為二元一次方程式y＝－2x－3的圖形， 所以令直線M為二元一次方程式y＝－2x＋k的圖形。 將P（－2 ,－4）代入得－4＝4＋k，k＝－8 所以直線M為二元一次方程式y＝－2x－8的圖形。
（補充）6 精采思考題－三直線關係（難度★★★★★）
禾鈞在直角坐標平面上畫出二元一次方程式2x－y＋4＝0、ax＋3y＋6＝0、3x＋2y＋7＝0的
圖形時，發現所得到的圖形可以將平面分割成六個區域，則a值可能為何？
三條直線將平面分割成六個區域有兩種情況：
(2)兩直線平行，另一條線為截線
(1)三直線交於一點 1
……○
2 ?2x－y＝－4……○ ?3x＋2y＝－7?1式×2＋○2式得7x＝－15，x＝－○
1式得2×代入○（－
1若直線2x－y＋4＝0 ○
平行ax＋3y＋6＝0，
15 72－1－4＝≠ a3－6得a＝－6。
則
152）－y＝－4，y＝－ 778
2若直線3x＋2y＋7＝0 ○
平行ax＋3y＋6＝0，
152,－）代入ax＋3y＋6＝0得 7715212－a＋3×（－）＋6＝0，a＝ 775129由(1)、(2)可得a＝或－6或。
52將（－
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