2019_2020学年高中数学第二章2.2.1向量加法运算及其几何意义练习新人教A版必修4

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

[A 基础达标]

→→→

1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于( ) →

A.AB →C.CD

→B.BC →D.DA

→→→→→

解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB＝AC＋CB＝→

AB.故选A.

→→→→

2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC＋AB＋DO＝( )

→A.CD →C.DA

→B.DC →D.DO

→→→→→→→→→→→→→→

解析：选B.OA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB＋BC＝DC.

3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3 km ”，则向量a＋b表示( )

A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝＋b|＝2 km，故选B.

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，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a

→→→

4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( )

- 1 -

A．1 C．3

→→

解析：选B.由正六边形知FE＝BC， →→→→→→→所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD， →→→→

所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B.

B．2 D．23

5．(2019·云南曲靖一中检测)向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向 B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向 C．若a与b同向，则a＋b与a同向 D．若a与b同向，则a＋b与b同向

解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋

b与a同向，也与b同向．

→→→→→

6．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．

→→→→→→→→→→→

解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC. →

答案：AC

→→→

7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________． 解析：在菱形ABCD中，连接BD，

因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形， →→

又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1， →→→

所以|BC＋CD|＝|BD|＝1. 答案：1

→→→→

8．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，给出下列结论： ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|. 其中正确的是________．

→→→→

解析：因为在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．

答案：①③

9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状： →→

(1)AD＝BC；

→→→→(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.

- 2 -

→→

解：(1)因为AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC， 所以四边ABCD是平行四边形．

→→→→

(2)因为AB＝DC且|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．

→→

10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|. →→

解：如图，因为|OA|＝|OB|＝3，

所以四边形OACB为菱形，

连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. →

因为∠AOB＝60°，所以AB＝|OA|＝3. 33

所以在Rt△BDC中，CD＝.

233→

所以|OC|＝|a＋b|＝×2＝33.

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[B 能力提升]

→→

11．已知有向线段AB，CD不平行，则( ) →→→A．|AB＋CD|>|AB| →→→B．|AB＋CD|≥|CD| →→→→C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD| →→→→D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|

解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，

b共线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.

12．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．

→→→→

→→→①|AB＋AC|＝|BC|； →→→②|AB＋CA|＝|BC|；

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→2→2→2③|AB|＋|AC|＝|BC|.

解析：①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠A＝90°， 所以?ABDC为矩形，所以AD＝BC， →→→→

所以|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|. →→→→

②正确．|AB＋CA|＝|CB|＝|BC|.

→2→2→2

③正确．由勾股定理知|AB|＋|AC|＝|BC|. 答案：①②③

13．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．

解：如图，作?OACB，

使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.

→→→→

设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的重力，且|OC|＝300 N.

→→

所以|OA|＝|OC|cos 30°＝150 3(N)， →→

|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N)．

所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

14．(选做题)如图，已知向量a，b，c，d.

(1)求作a＋b＋c＋d；

(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．

→→→→→

解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.

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