2014年全国高中数学联赛试题及答案

上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点

A1上的设置（共有

4种），按照边上的字母可以依次确定点

A2,A3,,An上的设置．为了使得最终回到A1时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有

不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．

设标有a的边有2i条，0?n??n?2i?2i?i???，标有b的边有2j条，0?j??．选取2i条边标记a的有Cn种方

??2??2?法，在余下的边中取出2j条边标记b的有Cn2?j2i种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有Cn2iCn2?j2i种标记方法．对

?n??2???i?0?n?2i????2????2i2j?CC?n?n?2i?． ①

j?0????i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为

4?0这里我们约定C0?1．

当n为奇数时，n?2i?0，此时

?n?2i??2???j?0?C2jn?2i?2n?2i?1． ②

代入①式中，得

?n??2???i?0n?2i??n??n?????2??2??2????????2i?2j2in?2i?12in?2iCC?4C2?2C2? ??????nn?2inn??j?0i?0i?0????n4???C2knk?0nn?kkn?k??Cn2(?1)k?(2?1)n?(2?1)n k?0?3n?1．

当n为偶数时，若i?nn，则②式仍然成立；若i?，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，22当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

?n??2???i?0n?2i?n????????2??2??1??????2i2j?2in?2i?1?4?1?CCC??n2?? ???n?n?2i?i?0j?0????????4?2in?2i?1?2?4??Cn2??3n?3．

i?0n?n??2??? 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3?1种；当n为偶数时有3n?3种．

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