22007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学
参考公式：
n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：Pkkn(k)?Cnp(1?p)n?k
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为
?2的是 A．y=sinxx2 B．y=sin2x C．y?cos4 D．y=cos4x
2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2
=x｝，则A∩CUB为
A．｛-1，2｝ B．｛-1，0｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心
率为
A．5 B．52 C．3 D．2
4．已知两条直线m,n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m//n,m???n?? ②?//?,m??,n???m//n ③m//n,m//??n//? ④?//?,m//n,m???n?? 其中正确命题的序号是
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③ 5．函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是
A．[??,?5??6] B．[?5?6,?] C．[??,0] D．[??636,0]
6．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x
－1，则有
A．f(13)?f(322312)?f(3) B．f(3)?f(2)?f(3)
C．f(23)?f(13)?f(32) D．f(32)?f(23)?f(13)
7．若对于任意实数x，有x3
=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2
+a3
3（x－2），则a2的值为
A．3 B．6 C．9 D．12
8．设f(x)?lg(1?x?a)是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是 A．（-1，0） B．（0，1） C．（-∞，0） D．（-∞，0）∪（1，+∞） 9．已知二次函数f（x）=ax2
+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x都有f（x）
≥0，则f(1)f'(0)的最小值为
A． 3 B．
52 C．2 D．
32
10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝，则平面区域B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}的面积为 A．2 B．1 C．12 D．
14
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．。 11．若cos(???)?15,cos(???)?35，.则tana·tanβ= . 12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 13．已知函数f（x）=x3
－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m= ▲ . 14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是 215．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225?y16?1上，则
sinA?sinCsinB? 。
16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A
与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= ，其中t∈[0，60]。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
1
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）
18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且19．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x
相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P，Q。
（1）若OA?OB?2，求c的值；（5分）
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分） 2
uuruurAE=FC1=1，
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分） （2）若点G在BC上，BG?2BB1上，GM?BF，垂足为H，求证：EM?面BCC1B1；（4分）
3，点M在 （3）用?表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan?。（4分）
2
20．（本小题满分16分）
已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。 （1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）
（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分） （3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
21．（本小题满分16分）
已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)?bx2?cx?d，
g(x)?ax3?bx2?cx?d，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））
=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求d的值；（3分）
（2）若a=0，求c的取值范围；（6分）
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。（7分）
3
4
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考答案
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B 11．
1 12．75 13．32 14．652 15．
554 16．100sin?t
6017．解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为
P225?2??C5??1?0.8?5??10?0.82?0.23?0.05.
（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 1?P5?0??P5?1??1?C615??1?0.8?5?0?C15?0.8??1?0.8?5?1
?1?0.00032?0.0064?0.99.（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为
18．解法一：（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。 从而ENAD，FD1∥CN。
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。 （2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·BC?23CF3?2?1.
因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1 （3）如图，连结EH
因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF
于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0 因为∠MBH=∠CFB，所以 MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB
?BMgBCBC2?CF2?1?332?3,?2213
tan??EMMH?13解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则ururuurBE??3,0,1?,BF??0,3,2?,BD1??3,3,3?
所以uurururBD1?BE?BF
故uuruuruurBD1、BE、BF共面 又它们有公共点B， 所以E、B、F、D1四点共面。
（2）如图，设M（0，0，z）则uurCM??0,?2,z 而BFuur3???0,3,2?，由题设得
uuuruurGMgBF?23g3?zg2?0，得z=1
因为M（0，0，1），E（3，0，1），有uurME=（3，0，0）
又BBuuruuruuruuruuruur1??0,0,3?，BC??0,3,0?，所以MEgBB1?0,MEgBC?0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC 故ME⊥BB1，平面BCC1B1
（3）设向量BPuuruuruuruuruur??x,y,3?⊥截面EBFD1，于是BP?BE,BP?BF
uur?,BFuur??0,3,2?，得BPuurgBEuur?3x?3?0,BPuurgBFuur?3y?6?0，解得x=-1，y=-2，所
以BPuur而BE??3,0,1???1,?2,3?.
又BAuuruuruur
??3,0,0?⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）
于是
uuruurcos??BPgBA1BPgBA? 故tan??13
1419．（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2
得x2
－kx－c=0
令A（a，a2
），B（b，b2
），则ab=﹣c
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