几种谐振动模型的讨论与求解

几种谐振动模型的讨论与求解

研究性学习课题类别：中学物理 研究小组成员：纪正

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数学预备知识

1.微分：

dsinx?cosxdxdcosx??sinxdxdex?exdxd1??dxxx2dlnx?1dxx

2.常系数高阶线性微分方程的解法

（此处只给出特征方程解法）

对于n阶线性常系数微分方程

y(n)?a1y(n?1)?其特征方程

?an?1y???any?+an?1y?0y?f(x)，

?n?a1?n?1??an??an?1?0 （*）

假设在复数域内有n个不同的解：

?1??2???n

则该线性常微分方程的通解为

y?C1e?1x?C2e?2x??Cne?nx

由于之后推导公式需要，给出引理

引理 若方程（*）的解中有两个共轭复根?i?，则利用欧拉公式

e?ix?cosx?isinx，因为解之间是线性无关的，所以取实部和虚部，就得

到两个实值解cosx和sinx，它们与原有的n-2个实值解构成了一个实的基本解组.所以，原方程的通解是

y?C1e?1x?C2e?2x?（以上

12?C?1cos?x?C?2sin?x??Cne?nx皆为任意常数）

C1,C2,,C?,C?,,Cn3.取近似

n?1?nxx1,n?Q,(1?x)（1）

（2）

x?0,tanx?sinx?x,cosx?1

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弹簧振子模型

1. 基本公式推导 （1）

如图1-1(a)所示

光滑水平面上有一弹簧一端固定在墙壁上，另一端固定一个质量为m的物块，弹簧的劲度系数为k.

现将物块向右移动一小段距离A，如图1-1(b)所示，松开手，让物块开始运动，此时

物块的动力学方程为

F??kx，F?ma，

则可得

ma?kx?0

2xdm2?kx?0即dt

解该微分方程的特征方程

m?2?k??

得

?1?ikkk,?2??i?0mm（m）

由引理结论，则微分方程的通解为

x?C1coskt?C2sinktmm

由初始条件

t=0时，

?x?A?0?v?0??0，

C?解得，1A,C2?0.

所以，微分方程在此时的特解为

x?Acosktm

所以速度大小为

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v?Aksinktmm

即表示，该振动的周期为

T?2?mk，振幅为A，振动过程中物块最大速度为

vmax?Akm. （2）弹簧的串联

若两个弹簧首尾相接（串联）且劲度系数分别为1k,k2，则连接后的弹簧的劲

k1k2k?k1?k2.

度系数为

若两个弹簧并排连接（并联）且劲度系数分别为1k,k2，则连接后的弹簧的劲

12. 度系数为

以上公式以及说明即为以后常用公式.

k?k?k第一类模型 二体弹簧振子模型ABCD

A（最基本模型）

如图1-2(a)图所示，无限大的光滑水平面上，有两个相同的物块用弹簧连接在一起，物块质量均为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧原长为l0。将这两个物块拉开一段距离2A。求解其运动方程以及其振动周期

T。

【分析与解】二体运动一般可以在质心系中进行求解。本模型中两个物块的质量相同，所以质心在两物块连线中点，以质心建立质心参考系，如图1-2(b)所示。 初始条件为：

t=0时刻

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