圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第二部分线性代数第6章行列式6.1考点归纳一、行列式的定义1．排列与逆序数（1）由1,2,?,n组成的有序数组称为一个n阶排列．通常用列．（2）一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数．用??j1,j2,?,jm?表示排列j1j2?jm的逆序数．如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．2．行列式的定义j,j,?,j
1
2
n
表示n阶排n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即a11 a12 ? a1na21 a22 ? a2n ? ? ?an1 an2 ann其中p1p2?pn为自然数1,2,?,n的一个排列，?为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n个，因而形如??1?a1p1a2p2?anpn的项共有n!项．n阶行列式也简记作detaij，其? =???1?a1p1a2p2?anpn???中数aij为行列式的第i行，第j列元素．1/127圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台二、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等．性质2互换行列式的两行（列），行列式变号．推论性质3式．推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数K，等于用数K乘此行列性质4行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式等于零．性质5和：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之a11
D?
a21?an1
a12a22?
??
?a1i?a1?i??a2i?a2?i?????ani?ani
?a1n?a2n
??ann
an2?
则D等于下列两个行列式之和：a11
D?
a21?an1
a12a22?
?a1i
?
?a1n
??ann
?
a11a21?an1
a12a22?
?a1i??a1n?a2i??a2n
?
?
?a2i?a2n
an2?ani
an2?ani??ann
性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．2/127圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台三、行列式的计算1．余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij，记Aij???1?定理i?j
Mij，Aij叫做元素aij的代数余子式．行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?i?1.2,?,n?D?aijAij?a2jA2j???anjAnj?i?1.2,?,n?
推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,?i?j?a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0,?i?j?2．计算行列式的几种主要方法（1）用n阶行列式的定义．（2）化行列式为上（下）三角法．（3）行列式按行（列）展开法（降阶法）．3．几个重要结论在进行行列式的计算时，有几个常用的结论，考生应当记住：a11
（1）a12?a1n?
?ann
?a12a22?ann；a22?a2n
a11（2）a21?an1a22??an2?ann?a12a22?ann；3/127圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台a1n
???1?n?n?1?2a11
（3）a12?
?
a21?an1
?a2,n?1
a1na2,n?1?an1；a1n（4）a2,n?1?an11x1
an21x2
2
x2
a2n?ann1??
???1?n?n?1?2a1na2,n?1?an1；?1x3
2x3
1xnx2n??
（5）x1
2
?x1n?1
?
n?1
x2
?
1?j?i?n
??x
i
?xj?（范德蒙行列式）．n?1?1
x3?xnn
6.2典型题（含历年真题）详解一、选择题1．设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且式（A．0【答案】B【解析】而两边同时去行列式得：，从）．[2017研]B．2C．4D．8，则A的行列2．多项式中与的系数依次为（4/127）．[2016研]圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台C．－1，1D．1，1A．－1，－1【答案】BB．1，－1【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是本题的项出现意味着每行元素中都有x项出现，因此只能是，则项系数为1；对于，则项，一定不含系数为－1．，又，也一定没有，那只有是；又1100
3．行列式0
220
00334004
=（）．[2013研]A．48【答案】D【解析】B．24C．12D．01100022000334004
?
100
120
002033
2?1?0
20220
03?0
33?0
0?404
?404?4?44
1
4．已知四阶行列式D
13?11812
035
，则3A14?8A24?4A34?2A44?（），其中34
?214
Aij为行列式D中元素aij的代数余子式．A．25/127
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