2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型压轴题（四）文

压轴题(四)

12．已知函数f(x)＝ax－a－4(a>0，x∈R)，若p＋q＝8，则A．(－∞，2－3) C．(2－3，2＋3) 答案 D

2

2

2

fq的取值范围是( ) fpB．[2＋3，＋∞) D．[2－3，2＋3]

q－a－

a4?fqaq－a2－4?4

解析 ＝＝，表示点A(p，q)与点B?a＋，a＋?连线的斜率．又2

a?fpap－a－44?ap－a－

aa＋≥4，故取点E(4,4)． a4

4

当AB与圆的切线EC重合时，kAB取最小值， 可求得kEC＝tan15°＝2－3，所以

fq的最小值为2－3； fp当AB与圆的切线ED重合时，kAB取最大值， 可求得kED＝tan75°＝2＋3， ∴

fqfq的最大值为2＋3；故的取值范围是[2－3，2＋3]． fpfpx2y2

16．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知椭圆C的方程为＋＝1，A，B为

93椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A，B的动点，直线x＝6与直线PA，PB分别交于

M，N两点，若点D(9,0)，则过D，M，N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，则该定点坐

标为________．

答案 (3,0)

- 1 -

x2y2

解析 首先证明椭圆的一个性质：椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，点A，B是椭圆上关于原点

ab对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一个点，

b2

则kAPkBP＝－2.

a证明如下：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，由于A，P是椭圆上的两点，故

???xy??a＋b＝1，

2

12

212

x2y2

＋＝1，a2b2

x2－x2y2－y2y－y1y＋y1y2－y2b2111

两式作差可得2＋2＝0，此时kAPkBP＝·＝＝－2.故结论成立．

abx－x1x＋x1x2－x2a1b21

设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，由题意可知k1k2＝－2＝－，设直线PA的

a3

方程为y＝k1(x＋3)，则M(6,9k1)，设直线PB的方程为y＝k2(x－3)，则N(6,3k2)，故kDM·kDN＝

9k13k2

·＝3k1k2＝－1，故DM⊥DN，MN为△DMN外接圆的直径，设所求的点为E(m,0)(m≠9)，－3－3

9k13k2

则kEM·kEN＝·＝－1，

6－m6－m即－(6－m)＝27k1k2＝－9，解得m＝3(m＝9舍去)．综上可得，所求定点的坐标为(3,0)． 9?1?20．已知动点P到点F?，0?的距离比它到直线x＝－的距离小2.

4?4?(1)求动点P的轨迹方程；

(2)记P点的轨迹为E，过点F、斜率存在且不为0的两直线l1，l2分别与曲线E交于M，

2

N，P，Q四点，若l1⊥l2，证明：

1

＋为定值． |MN||PQ|

1

1?1?解 (1)由题意可知动点P到点F?，0?的距离与它到直线x＝－的距离相等，显然动点4?4?

P的轨迹是抛物线，设其方程为y2＝2px(p>0)，易知p＝，所以动点P的轨迹方程为y2＝x.

y＝x，???1?(2)证明：由题意，直线l1的斜率存在，可设直线l1：y＝k?x－?.由?1??4??y＝k??x－4?，

???

2

1

2

?k?k得kx－?＋1?x＋＝0.

?2?16

22

22

＋12

k＋2

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2＝2. k2k2

- 2 -

k2

k2＋21k2＋1

于是|MN|＝x1＋x2＋p＝2＋＝2.

2k2k?－1?2＋1

?k???2

同理可得|PQ|＝＝k＋1.

?－1?2?k???

1

所以＋＝2＋2＝1，为定值．

|MN||PQ|k＋1k＋121．已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)x＋ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性．

解 (1)函数f(x)＝ax－(2a＋1)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝x－3x＋ln x， 12x－3x＋12x－1

f′(x)＝2x－3＋＝＝

2222

11

k2

x－1xxx.

3

曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率为f′(2)＝，f(2)＝－2＋ln 2，

2故曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y－f(2)＝f′(2)·(x－2)， 3

即y－(－2＋ln 2)＝(x－2)，化简得3x－2y－10＋2ln 2＝0.

2(2)因为f(x)＝ax－(2a＋1)x＋ln x，

12ax－2a＋1x＋1

从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝

2

2

xx＝

2ax－1x－1x，x>0.

当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；

111

当00，得0；由f′(x)<0，得1

22a2a1??1??在区间(0,1)和?，＋∞?上单调递增，在区间?1，?上单调递减； ?2a??2a?

1

当a＝时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单

2调递增；

111

当a>时，由f′(x)>0，得01；由f′(x)<0，得

22a2a1???1?间?0，?和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间?，1?上单调递减．

?2a??2a?

- 3 -

- 4 -