3.线段的垂直平分线 4.角平分线
例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40，求∠NMB的大小
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70，其余条件不变，再求∠NMB的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 A A A N N N B M B C
M B C M
例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。
E C F A D B 00C
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。
A C D E B
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D、F分别为AB、AC的中点，
0
DE?AB，FG?AC，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
A D F B E G C
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。
C E F A D B
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与
∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF A O M E F N 1 2 B C 例7、如图所示，AB>AC，?A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE?AB于E，DF?AC于F，求证：BE=CF。
A E B M C F D
答案如下： 例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°； （2）同理得，∠M=35°；
（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于∠A的一半． 证明：设∠A=α， 则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．
（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．
例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10
例3：证明：因为AC=AD
所以A在线段CD的垂直平分线上 又因为BC=BD
所以B在线段CD的垂直平分线上 所以直线AB是线段CD的垂直平分线
例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2 ∵等腰
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴AC=2EC/根号3EC=5根号3 ∵F为AC中点 ∴FC=5/2根号3 ∵FG⊥AC ∴CG=5 同理，BE=5 ∴EG=5
例5：证明：
∵DE⊥AB，∠ACB＝90 ∴∠BDE＝∠ACB＝90 ∵BD＝BC，BE＝BE
∴△BCE≌△BDE （HL） ∴∠CBE＝∠DBE ∵BF＝BF
∴△BCF≌△BDF （SAS） ∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF ∵∠BFC+∠BFD＝180 ∴∠BFC＝∠BFD＝90 ∴BE⊥CD
∴BE垂直平分CD
例6：解：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴EO=CO，FO=CO， ∴EO=FO．
例7：证明： 连接DC，DB
∵点D在BC的垂直平分线上 ∴DB=DC
∵D在∠BAC的平分线上 ∴DE=DF
∵∠DFC=∠DEB ∴△DCF≌△DEB ∴CF=BE
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