考试的重点内容，每年必考重点
高等数学（通用复习）
师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意
第一章 函数与极限
? 函数
○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）
U?a,????x|x?a???
U?a,????x|0?x?a??? 第一节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn??a x??o【证明示例】??N语言 1．由xn?a??化简得n?g???， ∴N???g????? 2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴lim?xn??a x??第二节 函数的极限 ○x?x0时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?x0【证明示例】???语言 1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g??? 2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?x0○x??时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x??【证明示例】??X语言 1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g??? 2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x??第三节 无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f?x?无穷小?limf?x??0
函数f?x?无穷大?limf?x???
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）
（定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0
高等数学期末复习资料 第1页（共17页）
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（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无穷小，且
f?x??0，则f?1?x?为无穷大
【题型示例】计算：lim??f?x??g?x???（或x??）
x?x01．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,??内是有界的； （∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．limg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小； （limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；） x??x?x0?3．由定理可知lim??f?x??g?x????0 x?x0（lim??f?x??g?x????0） x??第四节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算 mm?1??p?x??a0x?a1x???am设：? nn?1??q?x??b0x?b1x???bn??n?m?p?x??a0则有lim?? n?m x??q?x??b0n?m??0?f?x0?g?x0??0?gx??0f?x???lim??? g?x0??0,f?x0??0 x?x0g?x??0?g?x0??f?x0??00??f?x?0（特别地，当lim?（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可x?x0g?x?0以用罗比达法则求解）
【题型示例】求值limx?3x?3 2x?9x?3【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原式?lim其中x?3为函数f?x??x?3x?311?lim?lim? x2?9x?3?x?3??x?3?x?3x?36x?3的可去间断点 2x?9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
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00x?3???x?311?lim?lim? 解：lim2x?3x?9L?x?3x?32x6?x2?9??○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）
（定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那么，limf???x???f?lim??x?? ????x?x0?x?x0?【题型示例】求值：lim【求解示例】limx?3x?3x?3 x2?9x?3x?316?lim?? 22x?3x?9x?966第五节 极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：lim∵?x??0,sinx?1 x?0xsinx????1 ?，sinx?x?tanx∴limx?02x??lim1x1x?0lim?lim??1 x?0sinxx?0sinx?sinx?lim??x?0x?x?（特别地，limsin(x?x0)?1） x?x0x?x0
○单调有界收敛准则（P57）（★★★） ?1?第二个重要极限：lim?1???e x???x?（一般地，lim??f?x???
g?x?x???limf?x???x?1limg?x?，其中limf?x??0） ?2x?3?【题型示例】求值：lim??x??2x?1?? 【求解示例】 x?1x?1x?12??2x?3??2x?1?2??解：lim???lim???2xlim?1??x??2x?1x???1?????2x?1??2x?1?2???lim?1??2x?1???2x?1?2x?12???x?1?22x?1?2???lim??1??2x?1????2x?1?????x?1???2x?12????2??x?1?2x?1 ?2????lim?1??2x?1???2x?1????e2x?1???2x?12????2x?1????2x?1lim?2?e?2?lim???x?1???2x?1???2x?1?2x?2?lim??2x?1??e1?e第六节 无穷小量的阶（无穷小的比较）
○等价无穷小（★★）
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1．
U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)~?e?1?U
2．U~1?cosU
（乘除可替，加减不行）
ln?1?x??xln?1?x?【题型示例】求值：lim 2x?0x?3x【求解示例】
ln?1?x??xln?1?x?解：因为x?0,即x?0,所以原式?limx?0x2?3x ?1?x??ln?1?x??lim?1?x??x?limx?1?1?limx?0x?0x?x?3?x?0x?3x?x?3?3第七节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） x?x0?122limf?x??lim?f?x??f?x0? x?x0○间断点的分类（P67）（★） ?跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）??可去间断点（相等）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
???第二类间断点??）?无穷间断点（极限为?e2xx?0【题型示例】设函数f?x??? ，应该怎样选择数a，使得f?x?成为在R上的连续函数？ x?0?a?x【求解示例】 ??f?0???e2?0?e1?e?1．∵?f0??a?0??a ????f?0??a??2．由连续函数定义lim?f?x??lim?f?x??f?0??e x?0x?0∴a?e 第八节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续； 2．∵??a????b??0（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间?a,b?内至少有一点?，使得?????0，即f4．这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b?内至少有一个根? 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）
????g????C?0（0???1）
?ex?1x?0【题型示例】已知函数f?x??? ，在x?0处可导，求a，b
x?0?ax?b高等数学期末复习资料 第4页（共17页）
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【求解示例】
?f?0???e0?1?e0?1?20?f???0??e?1?1．∵?，? ??f0?b?????f???0??a?f?0??e0?1?2????f???0??f???0??a?12．由函数可导定义? ????f0?f0?f?0??b?2?∴a?1,b?2
????【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 （或：过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程） 【求解示例】 1．y??f??x?，y?|x?a?f??a? 2．切线方程：y?f?a??f??a??x?a? 法线方程：y?f?a???1x?a? ?f??a?第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：(?u??v)???u???v? 特别地，当????1时，有(u?v)??u??v? 2．函数积的求导法则（定理二）：(uv)??u?v?uv? ?u??u?v?uv?3．函数商的求导法则（定理三）：??? 2v?v?第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数f?1?x?的导数 ?1【求解示例】由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且f??x??0；∴??f○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设y?lnearcsin【求解示例】 解：y??1earcsin1earcsinx2?1x2?1??x????1 ?f?x??x2?1?x2?a2，求y? ???x2?a2???earcsinx2?1?x?a22?????x2?a2?????arcsin??e???????earcsin??????earcsin???e?e1arcsinx2?1?x2?a21??x?a???x2?1???2222x?a?1??x?1???2x??22xx2?12x?1???2222?x2x?a????x2?1??22 ?x2?1arcsinx2?1?x2?a2?xx2?1?2?x2???x2?a2?x第四节 高阶导数
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