a＋b－c
3.(20182全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
4A.π 2
B.π 3
2
2
2
222
πC. 4
D.
π 6
1a＋b－c1222
解析 因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C.由余弦定理a＋b－c＝2abcos C，得2abcos C＝2absin
242C，即cos C＝sin C.所以在△ABC中，C＝答案 C
22
4.(20182合肥质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC
3的外接圆面积为( ) A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
π. 4
解析 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.又cos C＝
221
及C∈(0，π)，知sin C＝. 33
22
∴2R＝＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积S＝πR＝9π.
sin C答案 C
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( ) A.a＝2b C.A＝2B
B.b＝2a D.B＝2A
解析 等式右边＝2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sinAcos C＋sin B. 等式左边＝2sin Bcos C＋sin B，
则2sin Bcos C＋sin B＝sin Acos C＋sin B， 因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理，得a＝2b. 答案 A 二、填空题
6.(20182全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1，① cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得
sinα＋cosα＋sinβ＋cosβ＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 1∴sin(α＋β)＝－.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
答案 － 2
7.(20182东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P(4a，3a)(a<0)，则25sin α－7tan 2α的值为________. 3a33a3解析 由题意知tan α＝＝，sin α＝＝－. 4a45|a|52tan α24
∴tan 2α＝＝， 22＝1－tanα7
?3?1－???4?
24?3?∴25sin α－7tan 2α＝253?－?－73＝－39. 7?5?答案 －39
8.(20182全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b＋c－a＝8，则△ABC的面积为________.
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，1b＋c－a838311222
所以sin A＝.因为b＋c－a＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝.所以S△ABC＝bcsin A＝
22bc2bc23223
831233＝. 323
23
3
2
2
2
2
2
2
23
34
答案
三、解答题
→→
9.(20182济南二模)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝23，AM＝MC. (1)求BM的长；
2π1
(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围.
32解 (1)在△ABC中，AB＝AC＋BC－2AC2BC2cos C， 1
代入数据，得cos C＝－. 2→→∵AM＝MC， 1
∴CM＝MA＝AC＝1.
2
在△CBM中，由余弦定理知： BM＝CM＋CB－2CM2CB2cos C＝7， 所以BM＝7.
(2)设∠MBD＝θ，则∠DMB＝
π?π?－θ，θ∈?0，?.
3?3?
2
2
2
2
2
2
在△BDM中，由正弦定理知： BD
?πsin?－θ
?3
MD＝＝?sin θ
BM27
＝. 2π3sin
3
??
27?π
∴BD＝sin?－θ
?33?，MD＝27sin θ，
??3
1277?π?∴BD＋MD＝sin?－θ?＋sin θ
2?3?33
73
＝(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，
?π??1?又θ∈?0，?，∴cos θ∈?，1?.
3???2?
1?7?
故BD＋MD的取值范围是?，7?.
2?2?
?π?10.(20182天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos?B－?.
6??
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解 (1)在△ABC中，由正弦定理得bsin A＝asin B，
ab
＝， sin Asin B
?又由bsin A＝acos?B－
?
π??， 6?
?π?得asin B＝acos?B－?，
6??
即sin B＝cos?B－可得tan B＝3.
又因为B∈(0，π)，可得B＝
π
. 3
??
π?， 6??
π
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
3有b＝a＋c－2accos B＝7，故b＝7. 3?π?由bsin A＝acos?B－?，可得sin A＝. 6??7因为a 27. 43 ， 7 2 2 2 因此sin 2A＝2sin Acos A＝12 cos 2A＝2cosA－1＝. 7 所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝ 4311333 3－3＝. 727214 ?3π?2 11.(20182湖南六校联考)已知函数f(x)＝3sin(2 018π－x)sin?＋x?－cosx＋1. ?2? (1)求函数f(x)的递增区间； 3 (2)若△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，角A的平分线交BC于D，f(A)＝，AD＝2BD＝2，求cos C. 2解 (1)f(x)＝3sin xcos x－cosx＋1 ＝＝ 31 sin 2x－(1＋cos 2x)＋1 22 π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋. 6?2222? πππ ≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 262 2 令2kπ－ ππ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 63所以递增区间是?kπ－ ? ? ππ，kπ＋?(k∈Z). 63?? π?3?(2)f(A)＝?sin?2A－?＝1， 6?2?得到2A－ πππ ＝2kπ＋?A＝kπ＋，k∈Z， 623 ππ ，所以∠BAD＝. 36 由0 BDAD2π3π 由正弦定理得＝?sin B＝，B＝或B＝(舍去)， sin∠BADsin B244ππππ6－2 所以cos C＝－cos(A＋B)＝sinsin－coscos＝. 34344
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