第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2018年9月22日
说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上的无效
（35届复赛）一、(40分)假设地球是一个质量分布各向同性的球体。地球自转及地球大气的影响可忽略。
从地球上空离地面高度为h的空间站发射一个小物体,该物体相对于地球以某一初速度运动,初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为R,质量为M,引力常量为G。
(1)、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件?
(2)、若该物体的初速度大小为v0,且能落到地面,求其落地时速度的大小和方向(速度与其水平分量之间的夹角)、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知:对于c?0,??b2?4ac?0,有
?xdxa?bx?cx2??acb?x2cxb2?cxb?arcsin?C 2(?c3)/2?式中C为积分常数。
1mM解：（1）、E?0时对应的V0大 mV02?0 大?G2R?h2GM R?h小球做椭圆运动，最近点和地球相切 解得 V0大?mV02小(R?h)?mvR
1mM1mM mV02?mV2?G小?G2R?h2R解得 V0小?（2）、如图，
2GMR (R?h)(2R?h)
角动量守恒 mV0(R?h)?mRvcos?
1mM1mM机械能守恒 mV02?G ?mV2?G2R?h2R
解得 V?V02?下面求时间 2GMR cos??R(R?h)(R?h)V0R2V02?2GMRhR?h 解1、角动量守恒 mV0(R?h)?mrv??mr2d? dt1mM1mMmV02?G?mV2?G2R?h2r1GmM2机械能守恒 ?m[v2 ?v]?r?2r1drd?GmM?m[()2?r2()2]?2dtdtr2(R?h)2v0dr2GM2GMd?2??v?消掉可得 ??? 02dtrrR?hdtrdr2GM222???(R?h)2v0?2GMr?(v0?)r dtR?hrdr2GM222??(v0?)r?2GMr?(R?h)2v0 dtR?hrdr dt?2GM22?(v0?)r2?2GMr?(R?h)2v0R?ht??dt??h2?(v0?rdr2GM22)r?2GMr?(R?h)2v0R?hR?h 2令 c?v0?2GM2 ?0 b?2GM a??(R?h)2v0R?h可得 ??b2?4ac?0 由?a?bx?cx2b2cx?b??arcsin?C可得 c2(?c)3/2?a?bx?cx2xdxt?R?h2GMRh2?v0(2R?h)h22GM?v0(R?h)R?h2v0R(R?h)?GM(R?h)R?h3/2??GM[][?arcsin]222GM?v0(R?h)2GM(R?h)?v0(R?h)2 当初始速度为临界速度V0?2GMR?2R?h3/2[] 时，下落时间为t?(R?h)(2R?h)2GM
1mM1mM解2：mV02?G ?mV2?G2R?h2r2得 v2?v0?2GM2GM ?R?hrv0(R?h)?rvcos?
2得 rvsin??rv1?cos2??r2v2?r2v2cos2??r2v2?(R?h)2v0 则有 rdr2GM222 ??(v0?)r?2GMr?(R?h)2v0dtR?h略
（35届复赛）二、(40分)如图,一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球;弹簧水平,它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动,它与地面之间的动摩擦因数为?。初始时小球速度为零,将此时弹簧相对于其原长的伸长记为 ?A0(A0>0,但A0并不是已知量)。重力加速度大小为g,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)如果小球至多只能向右运动,求小球最终静止的位置,和此种情形下A0应满足的条件;
(2)如果小球完成第一次向右运动至原点右边后,至多只能向左运动,求小球最终静止的位置,和此种情形下A0应满足的条件;
(3)如果小球只能完成n次往返运动(向右经过原点,然后向左经过原点,算1次往返)求小球最终静止的位置,和此种情形下A0应满足的条件;
(4)如果小球只能完成n次往返运动,求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的
总路程。
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