（2）的所有可能取值为，，．
，
所以的分布列为
所以的期望（3）答案不唯一．
答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下： 该选手获得100分的概率是
，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．
．
，
．
答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下： 该选手获得100分的概率是不会得到100分．
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力. 19.如图，在四棱锥
，
中，底面
是边长为的菱形，
，
平面
，
，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手
，为的中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）判断直线与平面
的位置关系，请说明理由．
13
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）相交，理由见解析．
【解析】 【分析】
（1）根据题意先证明
平面
，即可得到答案；
（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴， 建立空间直角坐标系，求出、的坐标，利用公式即可得到结果；
（3）求出平面
的一个法向量与向量，根据
与零的关系，作出判断.
【详解】（1）连结． 因为底面是菱形 ，所以. 又因为平面，
平面
，
所以.
又因为， 所以平面. 又因为平面
， 所以
.
（2）设，交于点. 因为底面是菱形 ， 所以， 又因为平面， 所以
，
.
如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系
，
14
则，.
，，， ， ，
则，，
， ，
设异面直线与所成角为，则
所以与所成角的余弦值为（3）直线与平面由（2）可知，设平面则
的一个法向量为
即
.
相交.证明如下：
，
，
令
，得
．
，
，
则
所以直线与平面
相交．
，
【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 20.已知椭圆
过点
，且椭圆的一个顶点的坐标为
．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：
交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．
（1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题意列方程组
，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；
，
；（2）证明见解析.
（2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线．
15
【详解】（1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为
，
所以
解得
所以椭圆的方程为
．
所以椭圆的右焦点的坐标为
．
（2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
显然，，
或
，
．
当，
时，直线的方程为，点的坐标为．
所以
．
直线的方程为，点的坐标为
．
则，
．
所以，所以，，三点共线．
同理，当
，
时，，，三点共线．
② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得
．
且．
设
，
，则
，
． 直线的方程为，点的坐标为
．
所以
．
直线的方程为，点的坐标为
．
则，
．
所以
，
16
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