大一高等数学期末考试试卷及答案详解

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大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分）

?2ex,x?0,1. （3分）若f(x)??为连续函数,则a的值为( ).

?a?x,x?0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知f?(3)?2,则limh?0f(3?h)?f(3)的值为（ ）.

2h(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

?1 23. （3分）定积分?2?1?cos2xdx的值为（ ）.

?2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若f(x)在x?x0处不连续,则f(x)在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 . 2. （3分）

?1?1(x2?x4sinx)dx? .

3. （3分） limx2sinx?01= . x4. （3分） y?2x3?3x2的极大值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求limx?0

xln(1?5x). 2sin3xex2. （6分）设y?2,求y?.

x?13. （6分）求不定积分?xln(1?x2)dx..

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4. （6分）求?30?x,x?1,?f(x?1)dx,其中f(x)??1?cosx

?ex?1,x?1.?yx005. （6分）设函数y?f(x)由方程?etdt??costdt?0所确定,求dy. 6. （6分）设?f(x)dx?sinx2?C,求?f(2x?3)dx.

3??7. （6分）求极限lim?1??.

n???2n?四、解答题（共28分）

1. （7分）设f?(lnx)?1?x,且f(0)?1,求f(x).

n????2. （7分）求由曲线y?cosx???x??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周

2??2所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数y?x?1?x在[?5,1]上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

设f??(x)在区间[a,b]上连续,证明

?baf(x)dx?b?a1b[f(a)?f(b)]??(x?a)(x?b)f??(x)dx. 22a标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1

2y?x3?1; 2 ; 3 0; 4 0.

3x?5x 5分 2x?03x三、 1 解 原式?lim

?5 1分3.

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2 解

exxlny?ln2??ln(x2?1), 2分

x?12ex12x[?2] 4分 ?y??2x?12x?13 解 原式?1ln(1?x2)d(1?x2) 3分 ?2

12x222?[(1?x)ln(1?x)??(1?x)?dx] 2分 221?x1?[(1?x2)ln(1?x2)?x2]?C 1分 2

4 解 令x?1?t,则 2分

?03f(x)dx???1f(t)dt 1分

12tdt??1(et?1)dt 1分

1?cost2???12 1分 ?0?[et?t]1?e2?e?1 1分

5 两边求导得ey?y??cosx?0, 2分

y???

cosx 1分 ye?cosx 1分

sinx?1cosx?dy?dx 2分

sinx?16 解

?f(2x?3)dx?1f(2x?3)d(2x?2) 2分 ?21?sin(2x?3)2?C 4分2.

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7 解 原式=lim?1?32?n???3??2n?2n3?32 4分

=e 2分

四、1 解 令lnx?t,则x?et,f?(t)?1?et, 3分

f(t)??(1?et)dt=t?et?C. 2分

f(0)?1,?C?0, 2分

?f(x)?x?ex. 1分

?2 解 Vx??2??cos2xdx 3分

?2

?2??02cos2xdx 2分

??3 解

?22. 2分

y??3x2?6x?24,y???6x?6, 1分

令y???0,得x?1. 1分 当???x?1时,y???0; 当1?x???时,y???0, 2分

?(1,3)为拐点, 1分

该点处的切线为y?3?21(x?1). 2分

4 解

y??1?121?x?1?, 2分

21?x21?x3?x?. 1分 令y?0,得

4?3?5y(?5)??5?6,??2.55,y???,y(1)?1, 2分

?4?4.

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?3?5? 最小值为y(?5)??5?6,最大值为y???. 2分

?4?4五、证明

?ba(x?a)(x?b)f??(x)??(x?a)(x?b)df?(x) 1分

ab?[(x?a)(x?b)f?(x)]a??af?(x)[2x?(a?b)dx 1分 ???a[2x?(a?b)df(x) 1分 ???[2x?(a?b)]f(x)?a?2?af(x)dx 1分 ??(b?a)[f(a)?f(b)]?2?af(x)dx, 1分

移项即得所证. 1分

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