小专题六 电磁感应中的“杆+导轨”模型
1.(多选)如图所示,两根光滑的平行金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场和导轨平面垂直,金属杆ab与导轨接触良好可沿导轨滑动,开始时开关S断开,当ab杆由静止下滑一段时间后闭合S,则从S闭合开始计时,ab杆的速度v与时间t的关系图象可能正确的是( ACD )
解析:若ab杆速度为v时,S闭合,则ab杆中产生的感应电动势E=BLv,ab杆受到的安培力F=
,如果安培力等于ab杆的重力,则ab杆匀速运动,A项正确;如果安培力小于ab杆的重
力,则ab杆先加速最后匀速,C项正确;如果安培力大于ab杆的重力,则ab杆先减速最后匀速,D项正确;ab杆不可能做匀加速运动,B项错误。
2.(多选)如图所示,阻值为R的金属棒从图示位置ab分别以v1,v2的速度沿光滑水平导轨(电阻不计)匀速滑到a′b′ 位置,若v1∶v2=1∶2,则在这两次过程中( AC )
A.回路电流I1∶I2=1∶2 B.产生的热量Q1∶Q2=1∶4
C.通过任一截面的电荷量q1∶q2=1∶1 D.外力的功率P1∶P2=1∶2
解析:两种情况下产生的感应电动势分别为E1=BLv1,E2=BLv2,电阻都为R,回路电流为I1==
,I2==
,故电流之比为==,A正确;两种情况下所用时间=
==,故产生热
量==,B错误;两种情况下磁通量变化量相同,则通过任一截面的电荷量q=t=Δt=,
即q1∶q2=1∶1,C正确;由于金属棒匀速运动,外力的功率等于回路中的电功率,故=错误。
=,D
3.(多选)如图所示,在空间存在着竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B。一水平放置的长度为L的金属杆ab与圆弧形金属导轨P,Q紧密接触,P,Q之间接有电容为C的电容器。若ab杆绕a点以角速度ω沿逆时针方向匀速转动,则下列说法正确的是( AC )
A.电容器与a相连的极板带正电 B.金属杆ab所受的安培力是阻力 C.电容器所带电荷量是CBLω D.金属杆中的电流方向从b流向a
解析:根据右手定则判断可知a端电势高,电容器与a相连的极板带正电;由于电路中没有电流,不受安培力作用,选项A正确,B,D错误;电容器两端的电压等于导体棒ab产生的电动势,电容器所带电荷量是q=CE=CBLω,选项C正确。
4.(多选)一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B,两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内,如图所示,磁感应强度B=0.5 T,导体棒ab,cd长度均为0.2 m,电阻R均为0.1 Ω,重力均为0.1 N,现用力向上拉动导体棒ab,使之匀速上升(导体棒ab,cd与导轨接触良好),此时cd静止不动,则ab上升时,下列说法正确的是( BC )
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A.ab受到的拉力大小为2 N B.ab向上运动的速度为2 m/s
C.在2 s内,拉力做功,有0.4 J的机械能转化为电能 D.在2 s内,拉力做功为0.6 J
解析:对导体棒cd,有mg=BIl,而I=,得v==2 m/s,故选项B正确;对导体棒ab,有
F=mg+BIl=0.2 N,选项A错误;在2 s内拉力做功转化为ab棒的重力势能和电路中的电能,拉力做功获得的机械能E机=
Fvt=0.8 J,增加的重力势能Ep=mgvt=0.4 J,则转化为的电能E电=E机-Ep=0.4 J,选项C正确,D错误。
5.(多选)如图所示,相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ,上端接有定值电阻R,匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放,当速度达到v时开始匀速运动,此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,并保持拉力的功率恒为P,导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好,不计导轨和导体棒的电阻,重力加速度为g。下列选项正确的是( AC )
A.P=2mgvsin θ B.P=3mgvsin θ
C.当导体棒速度达到时,加速度大小为sin θ
D.在速度达到2v以后匀速运动的过程中,R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
解析:导体棒由静止释放,速度达到v时,回路中的电流为I,则根据共点力的平衡条件,有mgsin θ=BIL。对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,以2v的速度匀速运动时,则回路中的电流为2I,则根据平衡条件,有F+mgsin θ=B·2IL,所以拉力F=mgsin θ,拉力的功率P=F×2v=2mgvsin θ,故选项A正确,B错误;当导体棒的速度达到时,回路中的电流为,根据
牛顿第二定律,得mgsin θ-BL =ma,解得a=sin θ,选项C正确;当导体棒以2v的速度匀速运动时,根据能量守恒定律,重力和拉力所做的功之和等于R上产生的焦耳热,故选项D错误。 6.如图甲所示,相距L=0.5 m、电阻不计的两根长金属导轨,各有一部分在同一水平面上,另一部分沿竖直面。质量均为m=50 g、电阻均为R=1.0 Ω的金属细杆ab,cd与导轨垂直接触形成闭合回路,杆与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5。整个装置处于磁感应强度大小B=1.0 T、方向
竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在水平拉力F作用下沿导轨向右运动时,从t=0时刻开始释放cd杆,cd杆的vcdt图象如图乙所示(在0～1 s和2～3 s内,图线为直线)。
(1)在0～1 s内,ab杆做什么运动? (2)在0～1 s内,ab杆的速度为多少?
(3)已知1～2 s内,ab杆做匀加速直线运动,求这段时间内拉力F随时间变化的函数方程。 解析:(1)在0～1 s内,cd杆的vt图线为倾斜直线,因此cd杆做匀变速直线运动,加速度为 a1=
=4.0 m/s
2
因此cd杆受向上的摩擦力作用,如图所示。 由于f=μN=μF安=μBIL且大小恒定
因此回路中的电流一定,由于I=
,故回路的E一定;由E=BLv可知,ab杆切割磁感线的速度一
定,因此ab杆向右做匀速直线运动。
(2)在0～1 s内,对cd杆在竖直方向上根据牛顿第二定律有mg-f1=ma1 在水平方向上N1-=0,另f1=μN1,
=I1LB,I1=,E1=BLv1
解出ab杆的速度v1=4.8 m/s。
(3)2～3 s内,由题中图象可求出cd杆的加速度 a2=-4 m/s,
同理可求出ab杆的速度v2=11.2 m/s
2
在1～2 s内,ab杆做匀加速运动, 加速度为a=
=6.4 m/s
2
对ab杆,根据牛顿第二定律有 F-μmg-BIL=ma
ab杆在t时刻的速度v=v1+a(t-1) 回路中的电流I=
联立可得F=0.8t+0.37(N)。
答案:(1)匀速直线运动 (2)4.8 m/s (3)F=0.8t+0.37(N)
7.如图所示,倾角为θ=30°的斜面上有一边长为L、质量为3m、内阻为R的线框abcd通过柔软的细绳与一质量为m的小球相连;斜面上两个宽为L的区域P1Q1Q2P2及P3Q3Q4P4 皆存在有理想边界的匀强磁场,磁感应强度大小皆为B,方向垂直于斜面向上。已知斜面光滑,且无磁场区域的宽度x>L。初始时,线圈abcd的ab边与P1Q1重合,在外力作用下静止在斜面上,撤去外力后线圈沿斜面向下运动,在ab边未过P2Q2前,线框已经开始匀速运动,求:
(1)线框匀速运动的速度;
(2)线框穿过边界P1Q1的时间及这段时间通过线框截面的电荷量;
(3)若线圈穿出区域P3Q3Q4P4前已经做匀速运动,线圈通过两个磁场区域产生的总焦耳热。 解析:(1)线框沿斜面下滑,当做匀速直线运动时,由平衡条件有3mgsin θ=mg+F安, 线框的ab边切割磁感线,产生感应电动势为E=BLv, 线框中的感应电流为I=, ab边所受的安培力为F安=BIL, 联立以上式子,可解得v=
。
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