第4讲 全等三角形的经典模型（二）.培优 - 图文

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题型一：“手拉手”模型

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“手拉手”数学模型：

EBAOCF

DHFEABCOEDOABC⑴ ⑵ ⑶

F

【引例】 如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE，

AE求证：BF=CE并求出?EOB的度数.

GO【解析】 ∵△ABE、△AFC是等边三角形

B ∴AE=AB，AC=AF，?EAB??FAC?60?

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例题精讲

C

∴?EAB??BAC??FAC??BAC 即?EAC??BAF ∴△AEC≌△ABF ∴BF=EC ?AEC??ABF

又∵?AGE??BGO ∴?BOE??EAB?60? ∴?EOB?60?

典题精练

【例1】 如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD=CF并求

出?DOH的度数.

D【解析】 同引例，先证明△ABD≌△AFC

G∴BD=FC，?BDA??FCA FO∵?DHO??CHA HE∴?DOH??CAD?90?

ABC【例2】 如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．

⑴ 求证：AN?BM.

⑵ 将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；

⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN?BM”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑷ 在⑵所得的图形中，设MA的延长线交BN于D，试判断△ABD的形状，并证明你的结论．

N N

M

BABCC【分析】 这是一个固定

后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．

【解析】 ⑴ ∵△ACM、△BCN是等边三角形

∴AC?CM，BC?CN ?ACM??BCN?60° ∴?ACN??MCB

N在△ACN和△MCB中

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CMAB

?AC?MC???ACN??MCB ?CN?CB?∴△ACN≌△MCB（SAS） ∴AN?BM

⑵ 将△ACM绕点C旋转如图：

⑶ 在⑵的情况，结论AN?BM仍然成立．

证明：∵?BCM??NCA?60°，CA?CM，CN?CB． ∴△CAN≌△CMB（SAS），∴AN?MB．

⑷ 如图，延长MA交BN于D，则△ABD为等边三角形． 证明：∵?CAM??BAD??ABD?60°． ∴△ABD是等边三角形．

NDCMAB

题型二：双垂+角平分线模型

典题精练

【例3】 在△ABC中，?BAC?90°，AD?BC于D，BF平分?ABC交AD于E，交AC于F.

求证：AE=AF.

A31B2EDC45F

【解析】 ?BAC?90°，??3??DAC?90°

AD?BC??ADC?90? ??C??DAC?90? ??C??3

?4??3??1，?5??C??2

BF是?ABC的角平分线 ??1??2 ??4??5

【例4】 如图，已知△ABC中，?ACB?90°，CD?AB于D，?ABC的角平分线BE交CD于

G，交AC于E，GF∥AB交AC于F．

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?AE?AF