解析几何单元易错题练习
一．考试内容：
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识:
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.
x2y2y2x22.椭圆的标准方程：2?2?1（a＞b＞0），2?2?1（a＞b＞0）.
abab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
x2y21. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为2?2?1（a＞b＞0）.
ab⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=?a和y=?b所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）.
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
c⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e?叫做椭圆的离心率.它的值表示
a椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是
c常数e?（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
a1
x2y2⑵ 准线：根据椭圆的对称性，2?2?1（a＞b＞0）的准线有两条，它
aba2y2x2们的方程为x??.对于椭圆2?2?1（a＞b＞0）的准线方程，只要把x
caba2换成y就可以了，即y??.
c3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
x2y2 设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右两
ab焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为MF1?a?ex，
MF2?a?ex.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
c椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a2=b2+c2、e?两个关系，因此确定椭
a圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程
?x?acos?x2y2 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的参数方程为?（θ为参数）.
y?bsin?ab? 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP
b的倾斜角α不同：tan??tan?；
ax2y2⑵ 椭圆的参数方程可以由方程2?2?1与三角恒等式cos2??sin2??1ab相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆
?x?acos?x2y2??1(a?b?0)的参数方程是. ?22ab?y?bsin?5.椭圆的的内外部
22x0y0x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?2?2?1.
abab22x0y0x2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?2?2?1.
abab6. 椭圆的切线方程
xxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
ababx2y2 （2）过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
abx0xy0y?2?1. a2bx2y2yC?0相切的条件是（3）椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?B?abA2a2?B2b?2 c(三)双曲线及其标准方程
2
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.
若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞
MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
x2y2y2x22. 双曲线的标准方程：2?2?1和2?2?1（a＞0，b＞0）.这里
ababb2?c2?a2，其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质
cx2y21.双曲线2?2?1的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e?＞1，离心率e
aab越大，双曲线的开口越大.
bx2y2x2y22. 双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0.若已知双
aababm曲线的渐近线方程是y??x，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形
n式：m2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一
x2y2个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线2?2?1，它
aba2a2的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是x??和x?.
ccx2y2双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式
aba2a2PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.
cc4.双曲线的内外部
22x0y0x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?2?2?1.
abab22x0y0x2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?2?2?1.
abab5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.
aabab3
xyxyb(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.
abaab22x2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x
abab轴上，??0，焦点在y轴上）. 6. 双曲线的切线方程
xxyyx2y2(1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
ababx2y2（2）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程
abxxyy是02?02?1. abx2y2（3）双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是
abA2a2?B2b2?c2.
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
y2?2px、y2??2px、x2?2py、x2??2py.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）； （4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
p（5）准线方程x??；
2（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
ppy2?2px:PF?x1?;y2??2px:PF??x1?22
ppx2?2py:PF?y1?;x2??2py:PF??y1?22（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p
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