专题09 复数、推理与证明
【训练目标】
1、 掌握复数的概念及复数的分类； 2、 掌握复数的四则运算，复平面问题； 3、 掌握共轭复数的概念，模长的计算； 4、 理解复数的几何意义；
5、 掌握归纳推理和类比推理的方法；
6、 掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。 【温馨小提示】
本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分题，主要考察复数的运算及复平面；推理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。 【名校试题荟萃】 1.若集合A．
B.
， C.
，则
等于（ ）
D.
【答案】C 【解析】因为2.设复数满足
，
，所以
。
（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】
由题意3.若复数A.
B.
，对应点为是纯虚数，则
C. D.
或
，在第四象限．故选D． 的值为（ ）
【答案】A 【解析】
由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即
，所以
.所以
.因为.故选A.
4.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（ ）
A.
B. C. D.
【答案】B
5.设复数满足，则
（ ） A. B. C.
D.
【答案】A 【解析】 可得
，则
，则
．
6.是的共轭复数，若，
（为虚数单位），则
（A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 方法一：设
（
），则
，
，
．
又，， 故．
方法二：，
， 又
，
，
，
.
7、已知为实数，若，则实数等于（ ）
.因为且
）
A. B.【答案】B 【解析】
C. D.
且复数不可比较大小，
故选B. 8、已知（1）对任意
，,都有
必为实数，，，.
，定义：.给出下列命题: ；
恒成立；
，则
，结论
；
恒成立.
（2）若是复数z的共轭复数，则（3）若（4）对任意
则其中真命题是（ ）
A.（1）（2）（3）（4） B.（2）（3）（4） C.（2）（4） D. （2）（3） 【答案】C
9、复数A.
B.
的共轭复数是（ ） C.
D.
【答案】A 【解析】
，故选A.
10、考察下列等式： ……
其中为虚数单位，【答案】0 【解析】 通过归纳可得，
．
11、
是复平面内的平行四边形，
三点对应的复数分别是
，则点对应
，从而
，
均为实数．由归纳可得，
的值为
.
， ， ，
的复数为_______. 【答案】
12、下面四个命题中， ① 复数
，则其实部、虚部分别是
；② 复数满足，可得
．正确命题的序号是
.
，则对应的点集合构成一条直线；③ 由；④ 为虚数单位，则
【答案】① ②
13、已知复数和复数,则的值_______.
【答案】【解析】
.
14、若是实数，，则.
【答案】【解析】
，因为是实数，所以是实数，又
，故
15、设【答案】
.
且
（其中 为虚数单位），求的值为
．
，复数满足：
16、下列说法中正确的序号是_______. ①
②若一个数是实数,则其虚部不存在 ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数
④设(为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是
⑤若,则对应的点在复平面内的第四象限.
【答案】④⑤
17、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.4 【答案】B
18、观察下列各式：则A.
（ ） B.
C.
D.
，…，若，
【答案】C 【解析】
.
所以，
所以，所以，故选C.
19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )
A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丁 D.甲、丁 【答案】B 【解析】
由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙。
20、我国古代数学名著《孙子算经》中有如下故事:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归.”意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家,聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开.”假如回娘家一次算回家一天,若当地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是( ) A.小女儿回家68天 B.二女儿回家52天 C.大女儿回家38天
D.有女儿在娘家的天数为119天 【答案】D
21、(2018山东日照一模)之和为
的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数
,
参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为( ) A.930 B.465 C.360 D.240 【答案】B
【解析】类比36的所有正约数之和的方法有:200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为所以B.
22、将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为则
________.
，例如
，若
，
的所有正约数之和为
,
,所以200的所有正约数之和为465,故选
【答案】62
23、在平面几何中，间：三棱锥
的内角平分线中（如图所示），面
分所成线段的比为平分二面角
且与
，把这个结论类比到空相交于，则得到的
类比的结论是_______.
【答案】
【解析】 在
中，作
于，
于，则
，即
，所以
． 是弦
的中点，
，根据
面积类比体积，长度类比面积可得
24、设是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，
分别表示直线
的斜率.在圆
中，
，在椭圆
中，类比上述结论可得________
【答案】
25、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是_________． 【答案】小乐，小强，小明． 【解析】
其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；
其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；
其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌． 26、凸函数的性质定理如下:如果函数
在区间
上是凸函数,则对于区间
内的任意
,
,…,
,
有
中,
.已知函数
的最大值为_________.
在区间上是凸函数,则在
【答案】【解析】 ∵
在区间上是凸函数,且,
∴,
即27、记
,∴
为有限集合的某项指标，已知
的最大值为
，，
.
，
，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若
___________（结果用含的式子表示）.
【答案】
28、观察如下规律:【答案】150 【解析】
,则该数列的前120项和等于_______.
由,发现该数列,由个,个,个,个组成,
∵,∴该数列前项,由个,个,个,个组成,即
,故答案为
29、若法求得：在
是抛物线
两边同时对求导，得
.
上的一点，则抛物线在点处的切线的斜率可以通过如下方
，即
，所以抛物线在点P处的切线的斜率
．请类比上述方法，求出双曲线
【答案】
在点处的切线的方程为_________.
30、称为取整函数,是指不超过的最大整数,如,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算
机领域.运用取整的观点,我们可以解决如下问题.已知【答案】4 【解析】
,且,则______.
,就,则,从而所求.
31、已知等式“”、“ ”、“ ”均成立．则
________
【答案】4 【解析】
观察已知等式，推测：
所以答案应填： 4
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