5、利用导数判断函数的单调性
一、选择题
1．函数y＝x3
的递减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．不存在 2．函数f(x)＝x－ex的单调增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞ ) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
4．三次函数y＝f(x)＝ax3
＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A．a>0 B．a<0 C．a<1 D．a<1
3
5．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有( ) A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＝0 D．不能确定 6．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.???－π，－π2???和??π?0，2??? B.??π?－2，0???和??π?0，2??? C.???－π，－π2???和??π?2，π??? D.??π?－2，0???和??π?2，π???
7．设f(x)＝ax3
＋bx2
＋cx＋d (a＞0)，则f(x)为增函数的充要条件是( ) A．b2
－4ac≥0 B．b2
－4ac≤0 C．b2
－3ac≤0 D．b2
－3ac≥0 8．函数f(x)＝2x2
－ln2x的单调递增区间是( )
A.??1?0，2???2?? B.??1???
0，4?? C.??2，＋∞?? D.??－12，0???及??1?0，2???
1
9．已知f(x)＝－x－x，x∈[m，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上( )
A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根 C．有且只有一个实数根 D．无实根 10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能3
为( )
二、填空题
11．函数y＝(x＋1)(x2
－1)的单调减区间为________．
12．若函数y＝x3
－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． 13．若函数f(x)＝x3
＋bx2
＋cx＋d的单调区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________. 14．若函数f(x)＝x3
＋x2
＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________． 三、解答题
15．求函数f(x)＝13x3＋12x2
－6x的单调区间．
16．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
17．已知x＞0，求证：x＞sinx.
2
18．(2010·山东卷文，21)已知函数f(x)＝lnx－ax＋
1－a－1(a∈R)．
x1
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤时，讨论f(x)的单调
2性．
2x＋x－2
解: (1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 2
2
xx因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.
1－a1a－1ax－x＋1－a(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋2＝－ x∈(0，＋∞)． 2
2
xxxx令g(x)＝ax－x＋1－a，x∈(0，＋∞) ①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)， 有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； 1
②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，
2
a1
(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；
211
(ⅱ)当0
2ax∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； ax∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；
a1
③当a<0时，由－1<0，
11
ax∈(0,1)时，g(x)>0，有f′(x)<0，f(x)递减； x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f′(x)>0，f(x)递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增； 1
当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上递减；
2
111
当0 2aa1?3?DCDAAACCCD 11 ?－1，? 12.[3，＋∞) 13.－ －6 14. 3?2? ?1，＋∞? ?3??? 3
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