《高中竞赛教程》教案：第23讲 - 正弦定理与余弦定理（学生）

竞赛01——正弦定理与余弦定理

本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用．

例１ 在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a?c?2b,A?C?

例２．已知?ABC的三个内角A,B,C满足：A?C?2B，的值．

例３ 在?ABC中，已知AB?

情景再现

１．在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c比数列，且cosB??3．求sinB的值．

A?C112，求cos???2cosAcosCcosB466，AC边上的中线BD?5，求sinA的值． ,cosB?36ADBC成等

????????3（１） 求cotA?cotC的值；设BA?BC?，求a?c的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ）

2２．已知在?ABC中，sinA(sinB?cosB)?sinC?0，sinB?cos2C?0，求角A,B,C的大小．

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3． 4例４ ?ABC内接于单位圆，三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于点A1,B1,C1， 求

AA1cosCAB?BB1cos?CC1cos1222的值． sinA?sinB?sinC例５ 在?ABC中，记BC?a,CA?b,AB?c，若9a?9b?19c?0，求

情景再现

222cotC的值． cotA?cotBa2?b2b2?c2c2?a2???0． ３．在?ABC中，求证：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosA

例６．设非直角?ABC的重心为G，内心为I，垂心为H，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．

??????????求证：（１）sinA?IA?sinB?IB?sinC?IC?0；

?????????????（２）tanA?HA?tanB?HB?tanC?HC?0；

????????????（３）HG?cotC(cotB?cotA)GB?cotB(cotC?cotA)GC．

例７ 在非直角?ABC中，边长a,b,c满足a?c??b(??1)． （１） 证明：tanAC??1tan?； 22??1- 2 -

是否存在函数f(?)，使得对于一切满足条件的?，代数式

cosA?cosC?f(?)恒为定值？若存在，

f(?)cosAcosC请给出一个满足条件的f(?)，并证明之；若不存在，请给出一个理由．

0例８ 在非钝角?ABC中，AB?AC，O,I分别是?ABC的外心和内心，且,?B452OI?AB?AC，求sinA．

情景再现

asinA?bsinB?csinCa2?b2?c2?４．在?ABC中，求证：．

ABCa?b?c4coscoscos222

习题

１．在?ABC中，c?22,a?b,C?02?4，且有tanAtanB?6，求a,b及?ABC的面积．

２．在?ABC中，A?80,a?b(b?c)，求角C．

３． 已知圆内接四边形ABCD的边长分为AB?2,BC?6，CD?DA?4，求四边形ABCD的面积．（２００１年全国高考卷）

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C?AC?A?cos的值． 2231５．已知锐角三角形ABC中，sin(A?B)?,sin(A?B)?.

55４．在?ABC中，若c?a等于AC边上的高h，求sin （１）求证：tanA?2tanB； （２）设AB=3，求AB边上的高.

Ab?c9??,c?5，求?ABC内切圆的半径． 22c102A?B?cos2C?1． ７．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且2sin21222（１）求角C的大小；（２）若a?b?c，试求sin（A-B）的值．

2６．在?ABC中，cos2８．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若

2sinA?cosB?cosC??3?sinB?sinC?

（１）求角A的大小；（２）若a?61，b?c?9，求b和c的值．

??3?b=－2， ９．已知向量a=（2，2），向量与向量a的夹角为，且a·

4?????2C)，其中A、C是△ABC的内角， （1）求向量b； （2）若t?(1,0)且b?t,c?(cosA,2cos2??若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围.

１０．如图在等边三角形ABC中，AB?a,O为中心，过O的直线交AB于M, 交AC于N，求

A??11?的最大值和最小值． OM2ON2MON1?tanA?tanB?tanC????6１１．在?ABC中，已知?，

181?tan3A?tan3B?tan3C???216?求?ABC的三个内角的大小．

BC１２．?ABC中A?2B,C是钝角，三边长均为整数，求?ABC周长的最小值．

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