计数原理综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. (1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( ) A．－4 B．－3 C．3 D．4
解析：(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2
14
∴x的系数为C34C1(－1)＋C4＝－4＋1＝－3. 答案：B
2．5个人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数是( )
A．18 B．24 C．36 D．48
2
解析：当在甲、乙之间插入1人，有C13种；甲、乙排列有A2种；把甲、乙中间1人看成一个元素与其他2人全排列有A3因此共有3种，123C3A2A3＝36(种)．
答案：C
3．从1,2,3,4,5这五个数字中，任取3个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )
A．9个 B．15个 C．42个 D．51个
1331231
解析：按含2与3分为三类列式如下A3＋C2C3A3＋C3·A3＝51(个)。
2
答案：D
4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方法共有( )
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
33
解析：C24×C4×C4＝96(种)． 答案：C
5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x2的项的系数是( )
A．74 B．121 C．－74 D．－121
222
解析：C25＋C6＋C7＋C8＝74. 答案：A
6．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直
1
角三角形的个数为( )
A．56 B．52 C．48 D．40 解析：用间接法，C38－8＝56－8＝48(个)．(减去8个等边三角形) .
答案：C
7．一个旅游景区如图所示，某人从点P处进去，点Q处出，游览三个景点A、B、C及沿途风光，则不同的游览线路种数为( )
A．6 B．8 C．12 D．48 解析：依题意可得6×4×2＝48(种)． 答案：D
8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( ) A．160 B．240 C．360 D．800
解析：在5个因式(x2＋3x＋2)中取一个因式的3x，其于4个因
14
式均取2，有C5×3·C44·2＝15×16＝240.
答案：B
9．从0到9这十个数字中，选出1个偶数和3个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有( )
A．1480个 B．1440个 C．1200个 D．1140个
3134
解析：含0的四位数有C13A5＝180(个)，不含0的四位数有C4C5A4
＝960(个)．
∴共有960＋180＝1140(个)． 答案：D
10．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(3－2)4. 又(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)
2
＝(3＋2)4(3－2)4＝(3－4)4＝1. 答案：A
11．A，B，C，D，E，F六个元素排成一列，要求A不站在两端，且B、C相邻，则不同的排法有( )
A．72种 B．96种 C．120种 D．144种 解析：如图 1 2 3 4 5 6
，当A站2号位置时，B、C有3种站法，其它三个位置站D、E、F，有2×3×A3当A站3、4、5号位置时，同理也均有36种．∴3＝36(种)．共有36×4＝144(种)．
答案：D 12．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有8个指示灯，每次显示其中的4个，且恰有3个相邻的．则一共显示的不同信号数是( )
A．160 B．180 C．240 D．320
解析：按位置分析显示不同的信号有20种．每一种情况均显示24＝16种信号．
∴一共显示信号数为20×16＝320(种)． 答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13.(2009·桂林质检)若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
解析：令x＝0，得a0＝－32.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31. 答案：31
1n2
14.(2008·全国Ⅰ)若(x＋3)，n＝________，展开式各项系
x
数和为32，则展开式的常数项为________．(用数字作答)
解析：令x＝1，得2n＝32，∴n＝5.展开式的常数为T3＝C25＝10. 答案：2 10 15．某年级有6个班，派3位数学老师任教，每位老师教两个班，不同的任课方法有________种．
22
解析：C26C4C2＝90(种)． 答案：90
16．有n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，如图甲、乙，要
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求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．
(1)若n＝6，则为图甲着色的方法有________个； (2)若为图乙着色时共有120种不同方法，则n＝____. 解析：(1)当n＝6时，有6×5×4×4＝480(个)． (2)当n＝5时，有5×4×3×2＝120，∴n＝5. 答案：(1)480 (2)5
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)将一四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的涂色方法有多少种？
解：如图所示，本题可以从颜色种类进行分类：
使用5种颜色，有5×4×3×2×1＝120种；(2)使用4种颜色，只有A、C同色或B、D同色，因此有C45×4×3×2×(1＋1)＝240种；(3)使用三种颜色，只有A、C同色，同时B、D也同色，因此有C35×3×2×1＝60种．
综上知，添色方法共有120＋240＋60＝420种． 18．(12分)若(2x－3)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3. (1)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|的值； (2)求(a0＋a2)2－(a1＋a3)2的值． 解：(1)令x＝1，得
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