机械工程测试技术基础(第三版)课后答案全集之欧阳光明创编

*欧阳光明*创编 2021.03.07

机械工程测试技术基础习题解答

欧阳光明（2021.03.07）

第一章 信号的分类与描述

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形

式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。

x(t) A … T?0 2T0 20 -A … ?T0 T0 t 图1-4 周期方波信号波形图

解答：在一个周期的表达式为

T0??A (??t?0)??2x(t)??? A (0?t?T0)??2.

积分区间取（-T/2，T/2）

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

x(t)?n????cne?jn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t??n???nA?，n=0, ?1, ?2, ?3, 。

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

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|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图

1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值解

答

μx和均方根值xrms。

：

2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?TωTωπ

?at1-3 求指数函数x(t)?Ae(a?0,t?0)的频谱。

解答：

|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图

谱。

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频

sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数

图1-25 题1-4图 t u(t) 1 0 t b)阶跃函数

a)符号函数的频谱

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t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足

傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。

x1(t) 1

|X(f)| φ(f) π/2 0

t

0 -1

0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数

符号函数频谱

b)阶跃函数频谱

在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数

结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

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