2.4 函数的奇偶性
学习目标：
1.了解函数奇偶性、周期性的含义. 2.会判断奇偶性，会求函数的周期.
3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题． 重点难点：函数奇偶性和周期性的应用 一、知识要点 1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数； 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数； 如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
② 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．
（2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．
3、函数奇偶性的性质：
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
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二、例题精讲
题型1： 函数奇偶性的判定 1．判断下列函数的奇偶性： ① f(x)?(x?1)
2??x?x(x?0)22③f(x)?? ④ f(x)?x?11?x2??x?x(x?0)1?x, ②f(x)?9?x2, 1?x
变式：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y=－|f（x）|； ②y=xf（x）； ③y=－f（－x）； ④y=f（x）－f（－x）． 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
1．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证：f(x)是奇函数．
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题型3： 函数奇偶性的应用
1．设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m) 变式1：已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,??)上是减函数，判断f(x)在(??,0)上是增 函数还是减函数 变式2：函数y?f(x)是R上的偶函数，且在(??,0]上是增函数，若f(a)?f(2),则实数 a的取值范围是 三、巩固练习 1．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ． ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x·f(x); ④y=f(x)+x． 2．设函数若函数f(x)?(k?2)x?(k?1)x?3是偶函数，则f(x)的递减区间是 ． 3．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x-2x，则在x<0上f(x)的表达式为 ． 4．设f(x)=ax+bx+cx－5(a,b,c是常数)且f(?7)?7,则f（7）= ． 5．若函数f(x)?2x?b的图象关于原点对称，则实数b应满足的条件是 ． 6．已知函数f(x)?ax?bx?1，常数a、b?R，且f(4)?0，则f(?4)? ． 7．y?f(x)在???,0?内为减函数，又f(x)为偶函数，则f(?3)与f(2.5)的大小关系为 ． 32 253 3 8．已知函数f(x)?ax2?bx?c是定义在?2a,1?a?上的偶函数，则a? ， b?________． 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?x2?2x，则f(1)? ． 10．判断下列函数的奇偶性 3①y?x?1； ②y?2x?1?1?2x； ③y?x4?x； x 11．已知函数y?f(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x?0时，f(x)?x2?2x?3． （1）写出函数y?f(x)的表达式； （2）作出y?f(x)的图象； （3）指出函数的单调区间及单调性． （4）求函数的最值． 4
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