3.2.1 对数及其运算
课堂探究
探究一 对数式与指数式的互化
由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：
名称 式子 意义 a x N 指数式ax＝N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N 对数式logaN＝x 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x 【典型例题1】完成下表指数式与对数式的转换． 题号 指数式 对数式 (1) 103＝1 000 (2) log39＝2 (3) log210＝x (4) e3＝x 解析：(1)103＝1 000?log101 000＝3，即lg 1 000＝3； (2)log39＝2?32
＝9； (3)logx210＝x?2＝10；
(4)e3
＝x?logex＝3，即ln x＝3.
答案：(1)lg 1 000＝3 (2)32
＝9 (3)2x＝10 (4)ln x＝3 探究二 对数基本性质的应用
1．对数恒等式alogaN＝N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的求值．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化 (1)logax＝1?x＝a(a>0，且a≠1)． (2)logax＝0?x＝1(a>0，且a≠1)．
我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．
1
【典型例题2】(1)若log3(lg x)＝1，则x＝__________； (2)求值：4
1(log29－log25)2＝__________.
解析：(1)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3. ∴x＝10＝1 000.
3
2log299(2)原式＝2(log29－log25)＝log5＝.
225答案：(1)1 000 (2)
9 5点评 在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如loga1＝0，logaa＝1，
alogaM＝M等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验．
探究三 对数运算法则的应用
对数运算法则的使用技巧及注意事项：
1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log24＋log25＝log220.
2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log2
9＝log29－log25. 53．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0. 4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则． 5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义． 【典型例题3】化简下列各式： (1)4lg2＋3lg5－lg
1； 5(2)lg27?lg8?lg1000；
lg1.232＋log38－5log53. 9(3)2log32－log3
思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．
24?53444
解：(1)原式＝lg ＝lg(2×5)＝lg(2×5)＝4；
15333lg3?3lg2??lg3?21lg2?1?32＝2(2)原式＝2＝；
lg3?2lg2?1lg3?2lg2?12(3)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3
2
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 点评 (1)注意对数运算法则的正用和逆用；
(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 探究四 对数换底公式的应用
1．应用换底公式表示已知对数的两个策略
2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式
(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．
(2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．
②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值． ③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率． 【典型例题4】(1)计算lg
b15－lg＋lg12.5－log89·log98的值； 28(2)已知log189＝a,18＝5，求log3645. 解：(1)原式＝lg??1525?lg9lg8???－·＝lg10－1＝0. ?282?lg8lg9b(2)方法一：∵log189＝a,18＝5， ∴log18 5＝b. 于是log36 45＝
log18?9?5?log1845log89?log185＝＝＝
log1836log18?18?2?1?log182ba?b1?log18189＝
a?b. 2?a方法二：∵log189＝a,18＝5，∴log185＝b.
log18?9?5?log189?log185a?b于是log3645＝＝＝.
1822log1818?log1892?alog189方法三：∵log189＝a,18＝5，∴lg 9＝alg18，lg 5＝blg18. ∴log36 45＝
blg45lg?9?5?lg9?lg5alg18?blg18a?b＝＝＝＝. 218lg362lg18?lg92lg18?alg182?alg9点评 在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指
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数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用． 探究五 易错辨析
易错点 忽视底数的限制条件而致误
【典型例题5】已知log(x＋3)(x＋3x)＝1，求实数x的值． 错解：由对数的性质，可得x＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3. 错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.
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?x2?3x?x?3?2正解：由对数的性质，知?x?3xf0解得x＝1，故实数x的值为1.
?x?3f0,且x?3?1?点评 由对数的定义可知，对数logaN的底数a>0，且a≠1，真数N>0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．
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