圆的有关概念与性质
◆课前热身
1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ） ．．
? D．OD＝DE A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．?AE?BE2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的 长是（ ）
A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
C．3
D．2
A．5 B．4
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（ ）
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B．3cm
C．23cm
D．9cm
A．
3cm 2【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦
1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．
3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法
“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．
常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.
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3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析
例1（山西太原）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心， CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．53 B．5 C．52 D．6
C A 【答案】A
D B
【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝
1AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝53，故选A． 2例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
【答案】8
【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA，根据垂径定理可知AM＝4，又OA＝5，则根据勾股定理可得：OM＝3。又OD＝5，则DM＝8.
例3（贵州贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 且AB=13，BC=5．
（1）求sin∠BAC的值；
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（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1） 【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin∠BAC=
BC5?． AB13AB2?BC2?132?52 =12．
（2）在Rt△ABC中，AC= 又∵OD⊥AC于点D，
1AC=6． 21AB21169169 （3）∵S半圆=?×（）=?×=?．
2224811 S△ABC=AC×BC=×12×5=30，
22169 ∴S阴影=S半圆－S△ABC =?－30≈36.3
8 ∴AD=
点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视． ◆迎考精练 一、选择题
1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( ) A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．
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