专题14 二次函数综合题(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

专题14 二次函数综合题

1．（2019?广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．

（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

【解析】（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点， ∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3． （2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3， ∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3， ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）， ∴x=m+1，y=-m-3， ∴x+y=m+1-m-3=-2， 即x+y=-2，变形得y=-x-2， ∵m>0，m=x-1， ∴x-1>0， ∴x>1，

∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．

（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线，

x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4， ∴函数H的图象恒过点B（2，-4）， ∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，

x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3， ∴抛物线G恒过点A（2，-3），

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB

∵x>1，且x=2时，方程为0=-1不成立， ∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0， ∴m?1?x?0，

x(x?2)∵x>1， ∴1-x<0， ∴x（x-2）<0， ∴x-2<0， ∴x<2，即1

【名师点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用． 2．（2019?广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y?323373x?x?与x轴交于点A、B（点848A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A、B、D的坐标；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？

【解析】（1）令733233x?x??0，

884解得x1=1，x2=-7．

∴A（1，0），B（-7，0）． 由y?3233733x?x?（x+3）2-23得，D（-3，-23）． ?8488（2）∵DD1⊥x轴于点D1， ∴∠COF=∠DD1F=90°， ∵∠D1FD=∠CFO， ∴△DD1F∽△COF，

D1DCO?∴， PD1OF∵D（-3，-23）， ∴D1D=23，OD=3， ∴D1F=2， ∴23OC， ?21∴OC?3， ∴CA=CF=FA=2， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠AFC=∠ACF，

∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE， ∴∠ECF=∠AFC=60°，

∴EC∥BF，

∵EC=DC?32?(3?23)2?6， ∵BF=6， ∴EC=BF，

∴四边形BFCE是平行四边形． （3）∵点P是抛物线上一动点， ∴设P点（x，323373x?x?）， 848①当点P在B点的左侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴

DD1D1ADD1D1A??或， PMMAAMPM234234??∴3233731?x或1?x323373，

x?x?x?x?848848解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-11或x1=1（不合题意舍去）x2??当点P在A点的右侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴

37； 3PMDD1PMD1A??或， AMD1AMADD1323373323373x?x?x?x?48?4， 848?23或8∴

x?123x?14解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2??舍去）；

当点P在AB之间时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴

5（不合题意3PMDD1PMD1A??或， AMD1AMADD1323373323373x?x?x?x?48?4， 48?23或8∴8x?123x?14解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2??综上所述，点P的横坐标为-11或?②由①得，这样的点P共有3个．

【名师点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键．

3．（2019?深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

5， 3375或?， 33

【解析】（1）∵OB=OC， ∴点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1，

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．

（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC?10、DE=1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D， 取点A′（-1，1），则A′D=AE，