2019年编·人教版高中数学
选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数
公式及导数运算法则
一、选择题
7?13?1．曲线y＝x－2在点?－1，－?处切线的倾斜角为( ) 3?3?A．30° C．135° [答案] B
[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°. 2．设f(x)＝
3
1
A．－
67C．－
6[答案] B
1－1
B．45° D．60°
x2
xx，则f′(1)等于( )
5B. 67D. 6
3．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x－y－3＝0 C．4x－y＋3＝0 [答案] A
[解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.
4．已知f(x)＝ax＋9x＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) A.C.
19
3
10
3
B.D.
16
313 3
3
2
3
4
4
B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝3ax＋18x＋6，
16
∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.
3∴选B.
1432
5．已知物体的运动方程是s＝t－4t＋16t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0
4的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
2
C．2秒、8秒或16秒 [答案] D
[解析] 显然瞬时速度v＝s′＝t－12t＋32t＝t(t－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.
6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A．y＝x－1
B．y＝－x－1 D．y＝－2x－2
3
322
C．y＝2x－2 [答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x－2x＋1上，求导可得y′＝3x－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
7．若函数f(x)＝esinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( ) A.
π
2
B．0
x3
3
2
C．钝角 [答案] C
D．锐角
πxx44
[解析] y′|x＝4＝(esinx＋ecosx)|x＝4＝e(sin4＋cos4)＝2esin(4＋)<0，故倾斜角
4为钝角，选C.
?ππ?8．曲线y＝xsinx在点?－，?处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ?22?
( )
π
A. 2
2
B．π
2
C．2π [答案] A
2
12D.(2＋π) 2
?ππ?[解析] 曲线y＝xsinx在点?－，?处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积?22?
π为. 2
9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则
2
f2011(x)等于( )
A．sinx C．cosx [答案] D
[解析] f0(x)＝sinx，
B．－sinx D．－cosx
f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，
∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.
10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则
f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数 D．f(x)＋g(x)为常数
C．f(x)＝g(x)＝0 [答案] B
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数． 二、填空题
?π?12
11．设f(x)＝ax－bsinx，且f′(0)＝1，f′??＝，则a＝________，b＝________.
?3?2
[答案] 0 －1
[解析] f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知 －bcos0＝1???2ππ1
a－bcos＝?32?3
3
22
??b＝－1
，∴?
?a＝0?
.
12．设f(x)＝x－3x－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________． [答案] (－1,3)
[解析] f′(x)＝3x－6x－9，由f′(x)＜0得3x－6x－9＜0，∴x－2x－3＜0，∴－1
2
2
＜x＜3.
13．曲线y＝cosx在点P?[答案] －
3 2
?π，1?处的切线的斜率为______．
??32?
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx， π3
∴切线斜率k＝y′|x＝π＝－sin＝－.
323
14．已知函数f(x)＝ax＋be图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数
xf(x)的解析式是____________．
51x＋1
[答案] f(x)＝－x－e
22
[解析] 由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3， ∴a＋be＝－3，又f(－1)＝2，
51－1
∴－a＋be＝2，解之得a＝－，b＝－e，
2251x＋1
故f(x)＝－x－e.
22三、解答题
15．求下列函数的导数：
1112
(1)y＝x(x＋＋3)；(2)y＝(x＋1)(－1)；
－1
xxx1＋x1－x4x4x(3)y＝sin＋cos；(4)y＝＋ . 441－x1＋x1?211?3
[解析] (1)∵y＝x?x＋＋3?＝x＋1＋2，
?xx?
x22
∴y′＝3x－3；
x
(3)∵y＝sin＋cos
44
4
x4
x??222
＝?sin＋cos?－2sincos 44?44?
2
2
xxxx12x11－cosx31＝1－sin＝1－·＝＋cosx，
2222441
∴y′＝－sinx；
4
1＋x1－x(1＋x)(1－x)
(4)∵y＝＋＝＋ 1－x1－x1－x1＋x＝
2＋2x4
＝－2， 1－x1－x2
2
∴y′＝?
?4－2?′＝－4(1－x)′＝4.
?22
(1－x)(1－x)?1－x?
16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1， 即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
17．已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－(x－2).直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程． [解析] 设l与C1相切于点P(x1，x1)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2))．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x1＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x1.① 对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)＝－2(x2－2)(x－
2
2
2
2
2
2
2
x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x2－4.
2
2
2
②
∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x1＝x2－4， 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. ∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4. 18．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1. [解析] (1)设f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0) 则f′(x)＝3ax＋2bx＋c
由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0
2
3
2
2
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