阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足

PA??,当PB??0且??1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（??1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为?(??1)的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为?. 证 （以??1为例）

设AB?a,APAQ???，则 PBQBAP??aa?aa,PB?,AQ?,BQ?. 1??1????1??1由相交弦定理及勾股定理知

a2?2a2222BC?PB?BQ?2,AC?AB?BC?2,

??1??12于是BC?a?2?1,AC?AC?a??. ,2??1BC而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于?的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为?. 性质1.当??1时，点B在圆O内，点A在圆O外； 当0???1时，点A在圆O内，点B在圆O外。 性质2.因AC?AP?AQ，过AC是圆O的一条切线。

若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点B,反之亦然。

22a??a??性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ?2，面积为??2?.

??1??1??性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点），则CP,CQ分别为?ACB的内、外角平分线。 性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分?EAF.

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数学应用

1.（03北京春季）设A(?c,0),B(c,0)(c?0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a?0),求点P的轨迹.

2.（05江苏）圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2?4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线

PM,PN(M,N分别为切点），使得PM?2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹

方程.

3.（06四川）已知两定点A(?2,0),B(1,0).如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件AB?2,AC?2BC的?ABC面积的最大值是___________.

5.在等腰?ABC中，AB?AC,BD是腰AC上的中线，且BD?3,则?ABC面积的最大值是___________.

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6.已知A(?2,0),P是圆C:(x?4)2?y2?16上任意一点，问在平面上是否存在一点B，使得

变式：已知圆C:(x?4)2?y2?16，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上任意一点P，都有

7.在?ABC中，AB?2AC,AD是?A的平分线，且AD?kAC. （1）求k的取值范围；

（2）若?ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.

PA1??若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由. PB2PA1??若存在，求出A,B坐标；若不存在，说明理由. PB2 3