点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．
19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率． 专题：计算题；方案型．
2
分析：（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C6种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想． 解答： 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 设抽到相邻两个月的数据为事件A
2
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C6=15种情况， 每种情况都是等可能出现的其中，
满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种
∴
，
（Ⅱ）由数据求得由公式求得b=再由
求得a=﹣
|=＜2
∴y关于x的线性回归方程为（Ⅲ）当x=10时，y=
，|
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
点评：本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在2015届高考卷中．
20．已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2． （I）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线AP的倾斜角为
，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径
的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知
，解得即可得出．
（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP
2
的方程与椭圆的方程联立可得7x+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r． 解答： 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为
（a＞b＞0），F（c，0）．
由题意知，解得．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切． 证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2． 则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．
2
由得7x+16x+4=0．
设点P的坐标为（x0，y0），则
．
∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0． 点E到直线PF的距离d=
=2．
∴d=r．
故以BD为直径的圆与直线PF相切． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）已知x1=并证明：x2＞
（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题：计算题． 分析：（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），并确定函数的定义域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分别求得函数f（x）的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负； （II）将x1=代入函数f（x），即可得a的值，再利用（I）中的单调性和函数的零点存在性
定理，证明函数的另一个零点x2是在区间（
，）上，即可证明结论
解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 求导数，得f′（x）=﹣a=
．
①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值； ②若a＞0，令f′（x）=0，得x=．
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数； 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴当x=时，f（x）有极大值，极大值为f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1．
综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为﹣lna﹣1 （Ⅱ）∵x1=∴f （
是函数f（x）的零点，
=0，解得a=
=
．
）=0，即﹣a
x．
∴f（x）=lnx﹣
∵f（）=﹣＞0，f（）=﹣＜0，∴f（）?f（）＜0．
由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在区间（因此x2＞
．
，）上有唯一零点，
点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题
三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．
22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F． （1）求证：∠PEC=∠PDF； （2）求PE?PF的值．
考点：与圆有关的比例线段． 专题：选作题；立体几何． 分析：（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；
（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE?PF的值． 解答： （1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°， ∴P、B、C、E四点共圆． ∴∠PEC=∠CBA．
又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF， ∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣
（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆． ∴PE?PF=PC?PD=PA?PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣
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