三、解答题
17．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2acosB?2c?b． （1）求?A的大小；
（2）若?ABC的外接圆的半径为23，面积为317．【答案】（1）
3，求?ABC的周长．
2?；（2）6?43． 3【解析】（1）因为2acosB?2c?b，
由正弦定理可得，2sinAcosB?2sinC?sinB，......................................................1分 由三角形内角和定理和诱导公式可得，
sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB，...........................................................2分
代入上式可得，2sinAcosB?2sinAcosB?2cosAsinB?sinB，.......................3分 所以2cosAsinB?sinB?0．
因为sinB?0，所以2cosA?1?0，即cosA??由于0?A??，所以A?1．................................................4分 22?．.......................................................................................5分 3（2）因为?ABC的外接圆的半径为23，由正弦定理可得，
a?43sinA?43?又?ABC的面积为3所以
3?6．......................................................................................6分 23，
113bcsinA?33，即bc??33，所以bc?12．...................................7分 222由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA，........................................................................8分 则36?b?c?bc?(b?c)?bc?(b?c)?12，...................................................10分
2所以(b?c)?48，即b?c?43．............................................................................11分
2222所以?ABC的周长a?b?c?6?43．....................................................................12分 18．某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶．超过24小时，按前述标准重新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表： T（小时） 频数（车次）
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率． （1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)； （2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，?表示3辆车中停车费用少于E(X)的车辆数，
?0,2? 600 ?2,3? 120 ?3,4? 80 ?4,5? 100 ?5,24? 100 2)的概率． 求P(?…18．【答案】(1)见解析；E(X)?7.74 (2)
81 125【解析】（1）由题意知，X的可取值为5，8，11，14，15，因此，
60031203802?，P?X?8????，P?X?11??，1000510002510002510011001P?X?14???，P?X?15??? ..............................................4分
100010100010P?X?5??所以X的分布列为： X 5 8 11 14 15 P?X?
3 53 252 251 101 1033211387E?X??5??8??11??14??15???7.74 ........................6分
52525101050（2）依题意得?~B?3,? ....................................................................................8分
??3?5?9227812?3??2??3? 所以P???2??P???2??P???3??C3??3??????????255125125?5??5??5?....................................................................................................................................12分
19．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?ABC?60?，△PAB为正三角形，且侧面PAB?底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上． （1）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；
（2）是否存在点M，使二面角M?EC?D的大小为60?，若存在，求出存在，请说明理由．
PM的值；若不PD23
19．【答案】（1）见解析；（2）存在
PM1?． PD3【解析】（1）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，
∵四边形ABCD是菱形，∴点H为BD的中点， 又∵M为PD的中点，∴MH∥BP，
又∵BP?平面ACM，MH?平面ACM，∴PB∥平面ACM．........................4分 （2）∵ABCD是菱形，?ABC?60?，E是AB的中点，∴CE?AB，
又∵PE?平面ABCD，
以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E?xyz， ................................................................................................................................................5分 则E?0,0,0?，B?1,0,0?，P0,0,3，C0,3,0，D?2,3,0．..................6分
??????uuuuruuur假设棱PD上存在点M，设点M坐标为?x,y,z?，PM??PD?0???1?，
则x,y,z?3???2,3,?3，∴M?2?,3?,3?1???， uuuuruuur∴EM??2?,3?,3?1???，EC?0,3,0，........................7分
??????????设平面CEM的法向量为n??x,y,z?，
uuuur??n?EM??2?x?3?y?3?1???z?0??y?0则?uuu，解得． r????2?x?3?1???z?n?EC?3y?0令z?2?，则x?3?1???，得n??3?1???,0,2?．................................................8分
?∵PE?平面ABCD，∴平面ABCD的法向量m??0,0,1?，.........................................9分 ∴cosn,m?n?m2?2?，....................................10分 ??222n?m7??6??34??3?1???∵二面角M?EC?D的大小为60?， ∴2?7?2?6??3?11，即3?2?2??1?0，解得??，或???1（舍去）...........11分 23PM1?时，二面角M?EC?D的大小为60?．...........12分 PD3∴在棱PD上存在点M，当
y2x220．已知点A1,2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)上的一点，椭圆C的离心率与双曲
ab??线x?y?1的离心率互为倒数，斜率为2直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若k1,k2分别为直线AB，AD的斜率，求证：k1?k2为定值．
22y2x220．【答案】（1）??1（2）详见解析
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