【解析】（1）由题意，可得e=
c212=，代入A（1，2）得2?2?1，..........2分 a2ab2，.......................................................................3分
又a2?b2?c2，解得a?2,b?c?y2x2??1．......................................................................................4分 所以椭圆C的方程42（2）证明：设直线BD的方程为y=2x+m， 又A、B、D三点不重合，∴m?0， 设D（x1，y1），B（x2，y2），
??y?2x?m则由?2得4x2+22mx+m2-4=0...................6分 2??2x?y?4所以△=-8m2+64＞0，所以?22＜m＜22．
m2?42x1+x2=-m，x1?x2?....................7分
42设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD， 则kAD+kAB=
y1?2y2?2x1?x2?2...................................9分 ??22?m?x1?1x2?1x1x2?x1?x2?1?2m?22?22?22?0......................................................11分 =22?m?2m?42?m?142所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值...................................................12分 21．已知函数f?x??x??a?2?x?alnx?a?R?．
2（1）求函数y?f?x?的单调区间；
x2（2）当a?1时，证明：对任意的x?0,f(x)?e?x?x?2．
21．【答案】（1）函数在区间(,??)上单调递增，在区间(0,)上单调递减．（2）见解析 【解析】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由已知得
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
.............1分 ．
a2a2所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．.......................................................................3分 当a＞0时，由f'（x）＞0，得所以函数f（x）的单调递增区间为
，由f'（x）＜0，得
，单调递减区间为
，
．
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ...5分
（2）证明：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0， 令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则h??x??e?x1，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递x增，...............................................................................................................................................7分
?1?而，h????e3?3?0,h??1??e?1?0...............................................................................8分
?3?所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增； ...........................................10分 所以
即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．......................................................................12分 （二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为2?cos(??..........11分 ．
．..............................9分
1?4)?1?0，曲线C的参数方程是
?x?4m2，（m为参数）． ??y?4m（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求
11． ?MAMB22．【答案】（1）见解析（2）见解析
?【解析】（1）由2?cos(??)?1?0，得?cos???sin??1?0， 4由x??cos?,y??sin?，得x?y?1?0，........................2分
?x?4m2因为?，消去m得y2?4x，所以直线l的直角坐标方程为x?y?1?0，曲
?y?4m线C的普通方程为y2?4x．...............................5分 （2）点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上，
?2tx?1??2（t为参数），代入y2?4x， 设直线l的参数方程为???y?2t??2得t2?42t?8?0，..............................6分
设点A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1?t2?42，t1t2??8，..........7分 所以
t?t11??12?|MA||MB|t1t2?t1?t2?2?4t1t2t1t2?32?32?1．..........10分 823．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a，b，c?R?，a2?b2?c2?1． （1）求证：ab?bc?ac?1；
a4b4c4（2）求证：2?2?2?1．
cab23．【答案】（1）见解析（2）见解析
a2?b2???c2?b2???a2?c2??2ab?2bc?2ac【解析】（1）ab?bc?ac? ?22?a2?b2?c2?1，a?b?c?3取等号．.....................................................................5分 3?a4?b4?c4a4b4c42222?2?2?（2）2?2?2?a?b?c??2?c???2?a???2?b?
cab?c??a??b?a42b42c42?22?c?22?b?22?b?2?a2?b2?c2??2，
caba4b4c43所以2?2?2?1，a?b?c?取等号．............................................................10分
cab3
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