∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形， ∴????//????//????， ∴∠??????=∠??????，
∵∠??????=∠??????，????=????， ∴△??????≌△??????(??????)， ∴????=????，????=????， ∵????=2????，????=????， ∴????=????，
∵∠??????=∠??????=90°，????=????， ∴????⊥????，????=????，
连接EB，BF，设????=??，则????=2??，????=2√2??，????=√2??， ∵∠??????=∠??????=45°， ∴∠??????=90°，
∴????=√????2+????2=√10??， ∵????=????， ∴????=????=
21
√10
??， 2
∵????=????，????=????， ∴????=2????=∴????=
(2)解：(1)中????的值有变化．
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于??′．
????
????
√10
??2√2??2
1
√2
??， 2
=√5．
∵????=????，????=????， ∴????//????，????=2????， ∵????//????，
∴??，G，F共线， ∵????=2????，
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1
1
∴????=????=????， ∵????//????，????//????， ∴????//????，
∴????与EF互相平分， ∵????=????，
∴点M在直线AD上， ∵????=????=????=????， ∴四边形OBFD是矩形，
∴∠??????=∠??????=∠??????=90°， ∵????=????，????=????，
∴????=2????，设????=??，则????=2??，
易知????=2????=2?2???????????=4??????????，????=2????°=2???????????，????=????=2???????????，
∵????=????=√????2+????2=√4??2?sin2??+??2?cos2??，????=????=???????????，
222∴????=
????
√4??2?sin2??+??2?cos2?????????????
1
1
1
1
=
√4??????2??+cos2??????????
．
【解析】(1)如图1中，延长DM交FG的延长线于??.证明△??????是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设????=??，则????=2??，????=2√2??，????=√2??，求出BM，MG即可解决问题．
(2)(1)中????的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CGG，F共线，交BF于??′.首先证明O，再证明点M在直线AD上，设????=??，则????=2??，
想办法求出BM，????(用m表示)，即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
21.【答案】解：(1)∵抛物线??=????2+????+3过点??(3,0)，??(?1,0) ∴{
9??+3??+3=0??=?1
解得：{
??=2?????+3=0
????
∴这条抛物线对应的函数表达式为??=???2+2??+3
(2)在y轴上存在点P，使得△??????为直角三角形．
∵??=???2+2??+3=?(???1)2+4
∴顶点??(1,4)
∴????2=(3?1)2+42=20
设点P坐标为(0,??)
∴????2=32+??2=9+??2，????2=12+(4???)2=17?8??+??2 ①若∠??????=90°，则????2+????2=????2
∴20+9+??2=17?8??+??2 解得：??=?2
3
∴??(0,?)
2②若∠??????=90°，则????2+????2=????2
∴9+??2+17?8??+??2=20
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3
解得：??1=1，??2=3 ∴??(0,1)或(0,3)
③若∠??????=90°，则????2+????2=????2
∴20+17?8??+??2=9+??2 解得：??=2
7∴??(0,)
2
综上所述，点P坐标为(0,?2)或(0,1)或(0,3)或(0,2)时，△??????为直角三角形．
(3)如图，过点I作????⊥??轴于点E，????⊥????于点F，????⊥????于点H ∵????⊥??轴于点G
∴∠??????=∠??????=∠??????=90°
∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△??????的内心
∴????=????=????，????=????，????=????，????=???? ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为(??,??)
∴????=??，????=????=????=??
∴????=????=?????????=3??? ∴????=????+????=??+3??? ∵????=????=3
∴????=????=?????????=3?(3???)=?? ∴????=????+????=??+?? ∵????2+????2=????2
∴(??+??)2+(??+3???)2=32
∴化简得：??2?3??+??2+3??=0 配方得：(???2)2+(??+2)2=2
32
∴点??(??,??)与定点??(2,?2)的距离为√
2
32
∴点I在以点??(2,?2)为圆心，半径为√的圆在第一象限的弧上运动
2
3
33
3
3
3
93
7
7
∴当点I在线段CQ上时，CI最小
333√10
∵????=√()2+(3+)2=
222∴????=?????????=
∴????最小值为
3√10?3√2
． 2
3√10?3√2
2
【解析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式． (2)用配方法求抛物线顶点M，求????2，设点P坐标为(0,??)，用p表示????2和????2.△??????为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．
(3)由点I是△??????内心联想到过点I作△??????三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三
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角形三边距离相等即有????=????=????.此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙??即为△??????内切圆，根据切线长定理可得????=????，????=????，????=????.设点I坐标为(??,??)，可
n的式子表示AG、DG的长，用含m、又由????=????=3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．(???2)2+(??+2)2=2，化简再配方后得到式子：从图形上可理解为点??(??,??)
32与定点??(2,?2)的距离为√，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，
2
3
3
3
3
9
CI最短．
本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第(3)题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．
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