14．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
15．已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．
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参考答案
1．解：（1）如图1中，设PA交ON于F． ∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠PBF＝∠OAF＝90°， ∵∠PFB＝∠OFA， ∴∠APB＝∠1． 故答案为∠APB＝∠1． www.czsx.com.cn
（2）如图2中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠APB+∠1＝180°． 故答案为∠APB+∠1＝180°．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．
（4）∵∠APB+∠1＝180°， ∴∠APB＝180°﹣50°17′＝129°43′．
2．解：探究：：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1．（两直线平行内错角相等） 同理可证，∠F＝∠2． ∵∠BCF＝∠1+∠2，
∴∠BCF＝∠B+∠F．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．
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应用：由探究可知：∠MFN＝∠AMF+∠CNF， ∴∠CNF＝∠DNG＝115°﹣55°＝60°． 故答案为60．
拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°， 当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′+∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°． 故答案为70或290．
3．解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义）， ∴2∠CBP+2∠DBP＝120°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化． 理由是：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等）， ∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换）， 即∠APB＝2∠ADB． （3）结论：∠ABC＝30°．
理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
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当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°， ∴∠ABC+∠DBN＝60°， ∴∠ABC＝30°
4．解：探究：∵DE∥BC（已知）
∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥AB
∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等） ∴∠DEF＝∠ABC（等量代换） ∵∠ABC＝65° ∴∠DEF＝65°
故答案为：已知；∠CFE；两直线平行，内错角相等；∠CFE；两直线平行，同位角相等；等量代换；65°．
应用：∵DE∥BC ∴∠ABC＝∠D＝β ∵EF∥AB
∴∠D+∠DEF＝180°
∴∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣β， 故答案为：180°﹣β．
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