2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷） 理科数学
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合M?{x|?4?x?2}，N?{x|x2?x?6?0}，则M?N?（ ）
A.{x|?4?x?3} B.{x|?4?x??2} C. {x|?2?x?2} D. {x|2?x?3}
2.设复数z满足z?i?1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则（ ） A.(x?1)2?y2?1 B.(x?1)2?y2?1 C.x2?(y?1)2?1 D.x2?(y?1)2?1 3.已知a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则（ ） A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.b?c?a
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?12（5?12?0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5?12 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
5. 函数f(x)?sinx?xcosx?x2在[??,?]的图像大致为（ ） A.
B.
C.
D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ） A.
5111116 B.32 C.2132 D.16 7. 已知非零向量a,b满足a?2b，且(a?b)?b，则a与b的夹角为（ ）
A.
??2?56 B.3 C.3 D.?6 18.右图是求2+1的程序框图，图中空白框中应填入（ ）2+1
2
A.A?12?A B.A?2?111A C.A?1?2A D.A?1?2A 9.记Sn为等差数列?an?的前n项和.已知S4?0，a5?5，则（ ）
A.a?5 B.a2n?2nn?3n?10 C.Sn?2n?8n D.S1n?2n2?2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|?2|F2B|，
|AB|?|BF1|，则C的方程为（ ）
x2x22y?1 B. 3?y22?1 C.x24?y23?1 D.x25?y2A.?24?1
11. 关于函数f(x)?sinx?sinx有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(?2,?)单调递增
③f(x)在???,??有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
12. 已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA?PB?PC，?ABC是边长为2的正三角形，
E,F分别是PA，AB的中点，?CEF?90?，则球O的体积为（ ）
A. 86? B.46? C.26? D.6? 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.曲线y?3(x2?x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 14.记Sn为等比数列?an?的前n项和，若a1?13，a24?a6，则S5? . 15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的
1
比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 2216.已知双曲线C:
xa2?yb2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的 两条渐近线分别交于A,B两点.若uuuFr?uuABur,uuuFruuur1A1B?F2B?0，则C的离心率为 .
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
17.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设?sinB?sinC?2?sin2A?sinBsinC. （1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC.
18.如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1?4,AB?2,?BAD?60?，
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
（1）证明：MN//平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值.
19.已知抛物线C:y2?3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. （1）若|AF|?|BF|?4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求|AB|.
20.已知函数f(x)?sinx?ln(1?x),f?(x)为f(x)的导函数.证明：
(1)f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点.
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
?和?，一轮实验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,,7)，其中a?P(X??1)，
b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
（i）证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,,7)为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种实验方案的合理性． 四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）
??1?t222.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?x??1?t24t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半???y?1?t2轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0.
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值.
23. 已知a,b,c为正数，且满足abc?1，证明： （1）
1a?1b?1c?a2?b2?c2 （2）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24
2
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）
理科数学答案
1.答案：C 解答：
由题意可知,N?{x|?2?x?3},又因为M?{x|?4?x?2},则M?N?{x|?2?x?2}，故选C. 2.答案：C 解答：
∵复数z在复平面内对应的点为(x,y)， ∴z?x?yi ∴x?yi?i?1 ∴x2?(y?1)2?1 3.答案：B 解答：
由对数函数的图像可知：a?log20.2?0；再有指数函数的图像可知：b?20.2?1，0?c?0.20.3?1，于是可得到：a?c?b. 4.答案：B 解答： 方法一：
设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F，BD?t，
5?12??， 根据题意可知ABBD??,故AB??t；又AD?AB?BD?(??1)t，AD??1DF??，故DF??t； 所以身高h?AD?DF?(??1)2?t，将??5?12?0.618代入可得h?4.24t.
根据腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm可得AB?AC，DF?EF；
即?t?26，??1?t?105，将??5?12?0.618代入可得40?t?42 所以169.6?h?178.08，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
5?12（5?12?0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相
加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?12可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm，与答案
175cm更为接近，故选B.
5.答案：D 解答： ∵f(?x)?sin??x??xcos??x????x?2??sinx?xcosx?x2??f(x)， ∴f(x)为奇函数，排除A，
??又f(?sin?222)??4?2?cos???2?2?0，排除C，
2????2??f(?)?sin???cos?????2??1??2?0，排除B，故选D.
6.答案：A 解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有C36种，所以
P?C3620526?64?16.
答案： 7.答案B 解答：
设a与b的夹角为?， ∵(a?b)?b
∴(a?b)?b?abcos??b2=0 ∴cos?=12 ∴?=?3.
8.答案：A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
A=
1选项A代入运算可得
2+
1，满足条件，
2+12
1
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