湖南大学高数A1试题（期末试卷）

x2?11.函数y?2的可去间断点为 .

x?3x?22.f(x)?2?x?3.若?11的定义域是 . ln(x?1)01?x2dx?arcsinx, 则x? .

4.若f(x)?x(2x?1)(3x?2)...(2010x?2009), 则f?(0)? . 5.抛物线y?x2?4x?3在曲率最大处的曲率为 . 1.下列结论中正确的是 【 】

(A) 若liman?A,limbn?B,A?B, 则对于充分大的自然数n,有an?bn

n??n??(B) 设an?bn(n?1,2,...),并且liman?A,limbn?B,则A?B

n??n??(C) 若liman?A,则liman?1?1 (D) 若liman?A,则对充分大的自然数n,有an?A

n??n??n??an2.

?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx? 【 】

11(1?x2)2?C (D) ?(1?x2)2?C 222222(A) 2(1?x)?C (B) ?2(1?x)?C (C)

3. 设函数f(x)的导数f?(x)如右图所示，由此，函数f(x)的图形可能是 【 】

f?(x)5 x-5 5

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f(x)f(x)f(x)f(x)5 5 5 5 xxxx-5 5 -5 5 -5 5 -5 5 (A)

-5 (B) -5 (C) -5 (D) -5

x4. 当x?0时, e?ln(1?x)?1与xn是同阶无穷小, 则n? 【 】

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 设f?C[0,1]且f(x)?0，记I1??10f(x)dx,I2??f(sinx)dx,I3??f(tanx)dx,

?20?40则下列不等式成立的是 【 】

湖南大学课程考试试卷 (A) I1?I2?I3 (B) I3?I1?I2 (C) I2?I3?I1 (D) I1?I3?I2 1. 计算极限limx?01?cosx.

x(1?cosx)x2. 计算极限lim?x?001?t2(e?1)dt. x3?ex??3. 计算积分?xf?(x)dx，其中f(x)???

?x??x?t(1?t)?0,4. 设函数y?y(x)由方程组?y确定，求dyt?0.

?te?y?1?0 ?ax2?bsinx?c,x?0,四、（11分）设f(x)??试问a,b,c为何值时，f(x)在x?0处装?ln(1?x), x?0,订线二阶导数存在？ （ 答题不得超过第 2 页（共 3 页）

五、（7分）若f(x)?2nx(1?x)n,记Mn?max{f(x)}(即f(x)在[0,1]上的最大值),

x?[0,1]求limMn

n?? 六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的

冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比. 如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)体积的衰减率与其体积，问融化掉其余部分需多少小时？

七、（10分）过点(1,5)作曲线?:y?x的切线L. 试求（1）切线L的方程；（2）（3）图形D的x?0的部分绕x轴旋转一周所得立体?与L所围平面图形D的面积；的体积.

八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明: 若f(u)是连续函数，则有

3??0??xf(sinx)dx??f(sinx)dx. 现要求将此结论推广到满足在[a,b]上连续且关于

20a?ba?ba?b?x)?f(?x))的任意函数x?为偶函数 (即对[a,b]中的任何x有f(222f(x)的情形, 请叙述并证明你的结论.

九、（6分）设f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f(b)?0,试证: 至少存在一点??(a,b), 使得f?(?)?f(?)?0 (??a)第 3 页（共 3 页）