实数知识点归纳总结
平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“?2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a（a?0） a?0
。 a”
a2?a? ；注意a的双重非负性： -a（a<0） a?0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3?a??3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？
综合探究
探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围
1．2x中被开方数为___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，
因此可列出不等式______________，x的取值范围是______________．
2．要使1?x?x有意义，需要列出不等式组为________________．x的取值范围是______________．
3．若x有意义，则x的取值范围是______________． x?1答案：1．2x，非负数，2x?0，x?0． 2．??1?x?0,0?x?1．
?x?0.3．x??1．
探究二 根据非负数性质求未知数的值
已知x、y为实数，且x?1?3?y?2??0． 1．由于什么结论？
_________________________________________________________________________． 2．由1，你能求出x?y的值吗？
_________________________________________________________________________． 答案：1．∵
2x?1，3?y?2?都是非负数，结合已知x?1?3?y?2??0，你能得到
22x?1?0，3?y?2??0，x?1?3?y?2??0，∴x?1?0，
223?y?2??0．
2．由1得，x?1?0，x?1；y?2?0，y?2．∴x?y?1?2??1． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由x?196?0可得_______________，
2．据1得，x是196的_______________，所以x?______________． 3．由1，2的启示，请你试着求等式16?x?2??81?0中的x值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．
答案：1．x?196． 2．平方根，x??14．
22223．由16?x?2??81?0，得?x?2??探究四 由平方根的意义确定字母的值
22819117，∴x?2??，∴x?或?．
416443a?22和2a?3都是m的平方根，求a和m的值．
1．当3a?22与2a?3相等时，求a和m的值．
______________________________________________________________________． 2．当3a?22与2a?3互为相反数时，求a和m的值．
_____________________________________________________________________． 3．讨论总结：m的值为____________．
答案：1．3a?22?2a?3，得a?19，3a?22?3?19?22?35，2a?3?35，
m?352?1225．
2．3a?22?2a?3?0，得a?5，3a?22?3?5?22??7，2a?3?2?5?3?7，
m???7??72?49．
3．m的值为1225或49．
探究五 利用被开方数非负性求未知数的值 已知x、y都是有理数，且y?2x?3?3?x?3，求yx?1的平方根．
1．x?3表示x?3的_________________，则x的范围是______________． 2．3?x表示x?3的_________________，则x的范围是______________． 3．由1，2，得x?______________，y?_______________． 4．讨论总结：yx?1的平方根是多少？
_________________________________________________________________． 答案：1．算术平方根，x?3． 2．算术平方根，x?3． 3．x?3，y?3． 4．∵yx?1?34?81，∴yx?1的平方根为?9．
探究六 算术平方根与绝对值相综合题
已知2009?a?a?2010?a，求a?20092?15的值．
1．由式子a?2010可以得出a的取值范围是什么？
________________________________________________________________________． 2．由1，你能将等式2009?a?a?2010?a中的绝对值去掉吗？
_______________________________________________________________________． 3．由2，你能求出a?2009的值吗？
_______________________________________________________________________． 4．讨论总结：求a?20092?15的值．
_______________________________________________________________________． 答案：1．∵a?2010?0，∴a?2010．
2．原式变形为a?2009?a?2010?a，即a?2010?2009． 3．a?2010?2009，a?2009?2010．
4．a?2009?15?2010?15?2025，∴a?20092?15?45．
2222探究七 平方根的实际应用
一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm，求原正方形的边长是多少？
1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．
2．设原正方形的边长为xcm，请你用x表示盒子的容积．
________________________________．
3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．
_________________________________________________________________________． 答案：1．6． 2．6?x?6?．
3．6?x?6??150，?x?6??25，x?6??5．∴x?11或x?1（舍去）．即原正
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