北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套

来源：用户分享时间：2025/9/14 13:33:40 本文由

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（共9套）

《数与式》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题2分，共24分)

1．下列各数：，sin 30°，－3，4，其中无理数的个数有( B )

3A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

2．某种药品说明书上标明保存温度是(20±3) ℃，则该药品最合适保存的温度范围是 ( C )

A．17℃～20℃ C．17℃～23℃

3．下列运算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝2a4 C．(－x6)·(－x)2＝x8

B．(a－b)2＝a2－b2 D．(－2a2b)3÷4a5＝－2ab3 B．20℃～23℃ D．17℃～24℃

4．中国的“天眼”绝对是我们中国人的骄傲，它可以一眼看穿130亿光年以外，换句话来说就是它可以接收到130亿光年之外的电磁信号，几乎已经可以达到我们人类现在所了解到的宇宙的极限边缘．数据130亿(精确到亿位)正确的表示是( B )

A．1.3×1010 C．0.13×1011

B．1.30×1010 D．130×108

5．设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为( D ) A．5 C．7

B．6 D．8

＝；②bb

ab·＝1；③ab÷ba

a＝b

6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①－b，其中正确的是( B )

A．①② C．①③ 7．若最简二次根式A．a＝1，b＝1 C．a＝－2，b＝1

3a－1

B．②③ D．①②③

2a＋5b与a－2b＋8是同类二次根式，则a、b的值为( A )

B．a＝2，b＝－1 D．a＝－1，b＝1

8．整数n满足n＜26＜n＋1，则n的值为( A ) A．4 C．6

B．5 D．7

9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简a2－|a＋b|的结果为( C )

A．2a＋b C．b

B．－2a＋b D．2a－b

10．如图1，把一个长为2m，宽为2n(m＞n)的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( C )

A．2m C．(m－n)2

B．(m＋n)2 D．m2－n2

11．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2,4；第二组：6,8,10,12；第三组：14,16,18,20,22,24；第四组：26,28,30,32,34,36,38,40……则现有等式Am＝(i，j)表示正偶数m是第i组第j个数(从左到右数)，如A10＝(2,3)，则A2020＝( B )

A．(31,63) C．(33,16)

B．(32,18) D．(34,2)

12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是( D )

1?2019

A．??2? C．?3?2020

?3?

1?2020

B．??2? D．?

3?2019

?3?二、填空题(每小题2分，共16分) 13．若分式x＋1

有意义，则x的取值范围为__x≥－1且x≠1__. x－1

14．计算：2(2－3)＋6＝__2__.

15．将多项式m2n－2mn＋n分解因式的结果是__n(m－1)2__. 16．若y＝x－4＋4－x1－2，则(x＋y)y＝____. 2417．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一11112种方法．若实数a用代数式表示为＋n，实数b用代数式表示为n－，则a－b的值为____. 3223318．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为__3__.

x2119．若x－3x＋1＝0，则42的值为____. 8x＋x＋1

20．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1111

1＝＋2＋3＋…＋n＋…. 2222

图1 图2

图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn－2Cn－1Cn、….假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__23＝

32?1＋3＋?3?2＋?3?3＋…＋?3?n－1＋?3?n＋…?__.

?4??4??4?4??4??三、解答题(共60分) 21．(8分)计算： (1)?46－4?

1?22；＋38÷2?

解：(1)原式＝(46－22＋62)÷22＝(46＋42)÷22＝23＋2. 12－?－2－|3－2|＋(2－1.414)0－3tan 30°(2)?－?－2?. ?2?

解：原式＝4－(2－3)＋1－3×

3－2＝4－2＋3＋1－3－2＝1. 3

22．(5分)已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．

解：∵x＝1－2，y＝1＋2，∴x－y＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋42.

23．(5分)已知实数a、b、c满足|a＋6|＋b－2＋(c－3)2＝0，求－abc的值．解：∵|a＋6|＋＝3，∴

－abc＝

b－2＋(c－3)2＝0，∴a＋6＝0，b－2＝0，c－3＝0，∴a＝－6，b＝2，c－?－6?×2×3＝36＝6.

24．(5 分)化简：?

?x＋2－x－1?÷?1－4?. ?22?x－2xx－4x＋4??x??x＋2x－1?x－4x2－4－?x2－x?xx－4x1

－解：原式＝?÷＝·＝·＝. ?2222xx?x－2??x－2?x?x－2?x－4x?x－2?x－4x－4x＋4??

25．(5分)先化简，再求值：

a4－b4b－a

，其中a＝2019，b＝2020.[:学科网] 22×2a－2ab＋ba＋b2?a2＋b2??a＋b??a－b?－?a－b?

解：原式＝·22＝－(a＋b)＝－a－b.当a＝2019，b＝2020时，

?a－b?2a＋b原式＝－2019－2020＝－4039.

26．(5分)先化简，再求值：

2a－1?a－2?

a－1－÷，其中a是方程x2－x＝6的根． ??2a＋1?a－1?

a－2?a＋1??a－1?－?2a－1?a－2a2－2a1

解：原式＝2÷＝2÷＝2.∵a是方程x2－x＝6的根，

a－1a＋1a－1a＋1a－a1

∴a2－a＝6，∴原式＝. 6

27．(6分)先化简，再求值：

2??a＋b＝4，a2－6ab＋9b2?5b1?÷a－2b－a－2b－，其中a、b满足? ??aa2－2ab?a－b＝2.?

?5b2?a－2b??a＋2b??1?a－3b?29b2－a21

－解：原式＝÷?÷－＝?－a＝aa－2ba?a－2b??a－2ba?a－2b?a－2b?

?a－3b?2

3b＋a－2a1－?a－3b?1－?a－3b?2

·－＝－＝－＝＝－.解

aa?3b＋a?a?3b＋a?a?3b＋a?a?a－2b??3b－a??3b＋a?aa3b＋aa＋3b?a－3b?2

a－2b

()

???a＋b＝4，?a＝3，21?得?∴当a＝3，b＝1时，原式＝－＝－. 33＋3×1?a－b＝2，???b＝1.

28．(6分)先化简，再求值：

x2＋x?2－1?，其中整数x满足－2＜x≤2. ÷x2－2x＋1?x－1x?

x?x＋1?2x－?x－1?x?x＋1?x?x－1?x2

解：原式＝÷＝×＝.其中x?x－1?≠0，22

?x－1?x?x－1??x－1?x＋1x－1

x＋1≠0，

?????

x2－2x＋1≠0，

即x≠

－1、0、1.又∵－2＜x≤2，且x为整数，∴x＝2.将x＝2代入中，得原式＝＝4. x－12－1

29．(7分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，因此，8,16,24这三个数都是“和谐数”．

(1)在32,75,80这三个数中，是和谐数的是__32,80__；

(2)若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为__100__；

(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．

证明：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－(4n2－4n＋1)＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．

30．(8分)观察下列等式：

211

第一个等式：a1＝－2； 2＝1＋3×2＋2×22＋12＋12211第二个等式：a2＝－3； 222＝21＋3×2＋2×?2?2＋12＋12311

第三个等式：a3＝－4； 332＝31＋3×2＋2×?2?2＋12＋12411

第四个等式：a4＝＝－. 1＋3×24＋2×?24?224＋125＋1按上述规律，回答下列问题：

11(1)请写出第六个等式：a6＝____＝__－__； 66267

1＋3×2＋2×?2?2＋12＋1

11(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝____＝__－__；

1＋3×2n＋2×?2n?22n＋12n＋1＋1

14(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝____(得出最简结果)；

43(4)计算：a1＋a2＋…＋an. 解：原式＝2n＋1－2

12＋1

－

12＋1

＋

12＋1

－

12＋1

＋…＋

12＋1

－

n＋1

＋1

＝

12＋1

－

12n＋1＋1

＝

3?2n＋1＋1?

《函数的图象与性质》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．函数y＝A．x≠3

C．x≥－2且x≠3

x＋2

的自变量的取值范围是( C ) x－3

B．x≥－2 D．x≥3

2．一辆复兴号高铁从青州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，复兴号到达下一个高铁站停下，乘客上、下车后，复兴号又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出这辆复兴号高铁在这段时间内的速度变化情况的是( D )

3．已知二次函数y＝－(x－h)2＋4(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为( A )

A．－1和6 C．－1和3

B．2和6 D．2和3

4．若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( C ) A．(2,2)

C．(2,2)或(－2，－2)

B．(－2，－2) D．(－2,2)或(2，－2)

5．一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象大致是( C )

6．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S

阴影

＝1，则S1＋S2＝( D )

A．3 C．5

B．4 D．6

7．抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( A )

A．(4，－1) C．(－2，－3)

B．(0，－3) D．(－2，－1)

8．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为( A )

A．y1>y2>y3 C．y3>y2>y1

B．y1>y3>y2 D．y2>y1>y3

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中所有正确结论的序号是( C )

A．③④ C．①④

B．②③ D．①②③

10．如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持k

不变，则经过动点A的反比例函数y＝(k≠0)中k的值的变化情况是( C )

A．一直增大 C．先增大后减小

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．一次函数y＝kx＋b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k·b的值是__2或－7__.

12．若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__.

13．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是__m＞1__.

14．如图，直线x＝2与反比例函数y＝和y＝－的图象分别交于A、B两点，若点P

xx是y轴上任意一点，则△PAB的面积是__1.5__

B．一直减小 D．先减小后增大

15．如图，点A在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交

xOC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为__27__.

16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m，则这个门洞的高度为__9.1__m.(精确到0.1 m)

三、解答题(共52分)

17．(6分)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A(－2,0)、B(0,3)．

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)过点B的另外一条直线l与x轴交于点C(c,0)，若点A、B、C构成面积不大于6的三角形，求c的取值范围．

??－2k＋b＝0，

解：(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b，把A(－2,0)、B(0,3)代入，得?解

??b＝3，

3??k＝2，3

得?所以一次函数解析式为y＝x＋3.

?b＝3，?

1(2)根据题意得·3·|c＋2|≤6，即|c＋2|≤4，所以－6≤c≤2且c≠－2.

18．(6分)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(0,3)，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从B点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y＝3向右平移，又P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，四边形OBPQ的面积为8； (2)连接AQ，当△APQ是直角三角形时，求Q的坐标．

解：(1)设运动时间为t秒，BQ＝2t，OP＝4＋t，则S＝(3t＋4)×3＝8，解得t＝. 29(2)当∠QAP＝90°时，Q(4,3)；当∠QPA＝90°时，Q(8,3)；当∠AQP＝90°时，不存在Q点的坐标，故Q点坐标为(4,3)、(8,3)．

19．(6分)如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y1、y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．

(1)填空：A、B两地相距__420__千米；

(2)求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； (3)客、货两车何时相遇？

解：(2)由图可知货车的速度为60÷2＝30(千米/时)，货车到达A地一共需要2＋360÷30

???2k＋b＝0，?k＝30，＝14(小时)．设y2＝kx＋b，代入点(2,0)、(14,360)，得?解得?所

???14k＋b＝360，?b＝－60，

以y2＝30x－60.

???6m＋n＝0，?m＝－60，

(3)设y1＝mx＋n，代入点(6,0)、(0,360)，得?解得?所以y1＝

?n＝360，???n＝360，

1414

－60x＋360.由y1＝y2，得－60x＋360＝30x－60，解得x＝.故客、货两车经过小时相遇．

20．(6分)已知某市2017年企业用水量x(吨)与该月应缴的水费y(元)之间的函数关系如图．

(1)当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

(2)若某企业2018年10月份的水费为620元，求该企业2018年10月份的用水量； (3)为贯彻省委发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2019年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2018年收费标准x

收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费

20共600元，求这个企业该月的用水量．

解：(1)设y关于x的函数关系式y＝kx＋b.∵直线y＝kx＋b经过点(50,200)，(60,260)，∴

???50k＋b＝200，?k＝6，?解得?∴y关于x的函数关系式是y＝6x－100. ???60k＋b＝260，?b＝－100，

(2)由图可知，当y＝620时，x＞50，∴6x－100＝620，解得x＝120.故该企业2018年10月份的用水量为120吨．

(3)由题意得6x－100＋(x－80)＝600，化简，得x2＋40x－14 000＝0，解得x1＝100，

20x2＝－140(不合题意，舍去)．故这个企业2019年3月份的用水量是100吨．

21．(6分)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与y轴交于A(0,4)，与x轴交于B、C

2两点，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于A(0,4)，与x轴交于B、C两点，点C坐标为

21??c＝4，a＝－，??134

(8,0)，∴?解得?∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.

???64a＋12＋c＝0，c＝4，?

(2)△ABC为直角三角形，理由如下：当y＝0时，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝8，x2＝

42－2，∴点B的坐标为(－2,0)．在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20.在Rt△ACO中，AC2＝CO2＋AO2＝82＋42＝80.∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC是直角三角形．

－4，?，22．(7分)如图，已知A?B(－1,2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(m≠0，2??xm＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．

解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故一次函数的值大于反比例函数的值．

－4，?，(－1,2)， (2)设一次函数的解析式为y＝kx＋b.∵y＝kx＋b的图象过点?2??1??k＝2，?－4k＋b＝2，∴?解得?5?b＝?－k＋b＝2，?2，象过点(－1,2)，则m＝－1×2＝－2.

15111

x，x＋?.由△PCA和△PDB面积相等，得××(x＋4)＝×|－(3)连接PC、PD，设P??22?22215555155

2－x－?，解得x＝－，则y＝x＋＝，∴点P的坐标是?－，?. 1|×??22??24?2224

23．(7分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.

(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．

(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5000＝－10×(x－30)2＋4000.∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

15m

故一次函数的解析式为y＝x＋.反比例函数y＝图22x

(3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40.∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000.又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)×(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵k＝－20＜0.∴p随x的增大而减小，∴当x＝25时，p有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

24．(8分)如图，已知抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

42(1)求点A、B、C的坐标；

(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A、B、E、F为顶点的平行四边形的面积；

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)令y＝0，得－x2－x＋2＝0，∴x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或2，∴点A坐标为

42(2,0)，点B坐标为(－4,0)．令x＝0，得y＝2，∴点C坐标为(0,2)．

(2)①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝－1，∴点E的横坐标为－7或272727

－7，－?或?5，－?，此时点F?－1，－?，∴以A、B、E、F为顶点5，∴点E坐标为?4??4?4???的平行四边形的面积为6×

92781

－1，?，设对称轴与x＝；②当点E在抛物线顶点时，点E?4??42

轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A、B、E、F为顶点的平1927

行四边形的面积为×6×＝.

222

(3)如图所示，①当C为顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于点N.在Rt△CM1N中，CN＝

CM21－M1N＝7，∴点M1坐标为(－1,2＋7)，点M2坐标为(－1,2－7)；②当

M3为顶点时，∵直线AC解析式为y＝－x＋2，线段AC的垂直平分线为y＝x，∴点M3坐标为(－1，－1)；③以点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述，点M坐标为(－1，－1)或(－

1,2＋7)或(－1,2－7)．

《方程(组)与不等式(组)》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知实数a、b，若a＞b，则下列结论错误的是( D ) A．a－7＞b－7 abC．>

B．6＋a＞b＋6 D．－3a＞－3b

2．已知x＝2是方程2x＋m－4＝0的解，则m的值为( C ) A．8 C．0

B．－8 D．2

x＋1>0，??

3．不等式组?1的解集在数轴上表示正确的是( A )

1－x>0??3

?x＝－1，?3x＋2y＝m，??

4．已知?是二元一次方程组?的解，则m－n的值是( D )

??y＝2nx－y＝1??

A．1 C．3

B．2 D．4

??2x＋1>0，

5．一元一次不等式组?的解集中，整数解的个数是( C )

?x－5≤0?

A．4 C．6

B．5 D．7

6．关于x的方程m2x2－8mx＋12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是( B )

A．5个 C．3个

B．4个 D．2个

7．为加快环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为( A )

400300

A．＝

xx－30

400300B．＝ xx－30

400300C．＝

x＋30x400300D．＝

xx＋30

8．大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如下协议：做满30天，图书馆将支付给他一套名著和生活费600元，但他在做到20天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和300元，设这套名著的价格为x元，则下面所列方程正确的是( B )

x＋600x＋300A．＝

2030x－600x－300C．＝

3020

x＋600x＋300

B．＝

3020x－600x－300D．＝

2030

x－1m

9．若解分式方程＝时产生增根，则m＝( D )

x＋4x＋4A．1 C．－4

B．0 D．－5

10．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( B )

A．29人 C．31人

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如果不等式(a－3)x＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是__a>3__.

a－3x1

12．方程＝的根x＝__－1__.

x－22－x

?a2－ab?a≥b?，?

13．对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝?例如：4]__3或－3__. 2

?ab－b?a

B．30人 D．32人

14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__78__cm.

15．若方程x2＋2x－13＝0的两根分别为m、n，则mn(m＋n)＝__26__.

16．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为__80__元．

三、解答题(共52分) 17．(6分)解方程(组)：

??x－y＝4， ①

(1)? ?3x＋y＝16； ②?

??x＝5，

解：(1)①＋②，得4x＝20，即x＝5.将x＝5代入①，得y＝1，故?

?y＝1.?

(2)(x－5)(x＋4)＝10；

解：去括号、移项、整理，得x2－x－30＝0，解得x1＝－5，x2＝6. x－11

(3)－3＝. x－22－x

解：去分母，得1－3(x－2)＝－(x－1)，整理，得－2x＋6＝0，解得x＝3.经检验，x＝3是原分式方程的根．

3x>x－6，??

18．(4分)解不等式组：?x－1x＋1并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．

??2≤6，

?3x>x－6，①

解：?x－1x＋1

?2≤6，②

由①，得x＞－3.由②，得x≤2.∴原不等式组的解集为－3＜x≤2.

19．(6分)已知关于x的方程2x2＋kx－1＝0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一根是－1，求另外一个根及k的值．

(1)证明：b2－4ac＝k2＋8>0，即方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．

(2)解：把x＝－1代入原方程，得2－k－1＝0，所以k＝1，即原方程为2x2＋x－1＝0，11

解得x1＝－1，x2＝，即另外一根为. 22

20．(6分)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接五一劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？

解：设每件童装应降价x元．由题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2

＝20.∵尽量减少库存，∴x＝20，∴100－20＝80(元)，故每件童装应定价为80元．

21．(7分)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，5

但这次每支的进价是第一次进价的，购进数量比第一次少了30支．

(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元；

(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问：每支售价至少是多少元？

解：(1)设第一次每支铅笔进价为x元．根据题意，得

600600

－＝30，解得x＝4.经检验，x5

x＝4是原分式方程的解，故第一次每支铅笔的进价是4元．

600600

(2)设售价为y元．根据题意，列不等式为×(y－4)＋×(y－5)≥420，解得y≥6.

4×4故每支售价至少是6元．

22．(7分)阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数必同时为零．例如：①若(a－1)2＋(b＋5)2＝0，则(a－1)2＝0，(b＋5)2＝0，∴a＝1，b＝－5. ②若m2－4m＋n2＋6n＋13＝0，求m、n的值．

解：∵m2－4m＋n2＋6n＋13＝(m2－4m＋4)＋(n2＋6n＋9)＝0(将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式)，

∴(m－2)2＋(n＋3)2＝0， ∴(m－2)2＝0，(n＋3)2＝0， ∴m＝2，n＝－3.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知x2＋2xy＋2y2－6y＋9＝0，求xy的值；

(2)已知a、b(a≠b)是等腰三角形的边长，且满足2a2＋b2－8a－6b＋17＝0，求三角形的周长．

解：(1)∵x2＋2xy＋2y2－6y＋9＝x2＋2xy＋y2＋y2－6y＋9＝(x＋y)2＋(y－3)2＝0，∴x＋y＝0，y－3＝0，∴y＝3，x＝－y＝－3，∴xy＝(－3)3＝－27.

(2)∵2a2＋b2－8a－6b＋17＝2a2－8a＋8＋b2－6b＋9＝2(a2－4a＋4)＋(b2－6b＋9)＝2(a－2)2＋(b－3)2＝0，∴a－2＝0，b－3＝0，∴a＝2，b＝3.∴当a为腰时，周长为7；当b为腰时，周长为8.∴三角形的周长为7或8.

23．(8分)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：

(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是

已知方程两根的倒数；

(2)已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；

(3)已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

11x1＋x2

解：(1)设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1、x2.∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n.∴＋＝＝x1x2x1x2

m111m1

－，·＝.∴所求一元二次方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0. nx1x2nnn

(2)①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，∴a＋b＝15，

2222

aba＋b?a＋b?－2ab15－2×?－5?ab

ab＝－5.∴＋＝＝＝＝－47.②当a＝b时，＋＝1＋1＝2.

baababba－5

综上，＋＝－47或2.

1616

(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝.∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的两根，

cc4×16

∴Δ＝c2－≥0.∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，∴c的最小值为4.

24．(8分)某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．

(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？

(2)若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？ (3)对(2)中的几种建造方案，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．

解：(1)设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元．由题意，得

???2x＋3y＝1.7，?x＝0.1，?解得?故新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位?4x＋2y＝1.4，???y＝0.5.

需0.5万元．

(2)

设新建m个地上停车位，由题意，得14＜0.1m

＋0.5(60－m)≤15，解得37.5≤m＜40，因为m为整数，所以m＝38或39，对应的60－m＝22或21，故一共有2种建造方案．

(3)当m＝38时，投资0.1×38＋0.5×22＝14.8(万元)，当m＝39时，投资0.1×39＋0.5×21＝14.4(万元)，故当地上建39个车位，地下建21个车位时，投资最少，金额为14.4万元．

《图形及其变化》综合检测卷

(时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( C )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

2．如图是某几何体的三视图，该几何体是( B )

A．圆锥 C．棱柱

B．圆柱 D．正方体

3．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图，在该正方体中，和“超”相对的字是( C )

A．沉 C．自

B．信 D．着

4．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是( C )

5．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为( C )

A．16 cm C．20 cm

B．18 cm D．22 cm

6．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( C )

A．(2,10) C．(2,10)或(－2,0)

B．(－2,0) D．(10,2)或(－2,0)

7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2)、B(3,1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为( C )

A．(3,1) C．(4,4)

B．(3,3) D．(4,1)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧分别1

交AB、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，

2作射线BP交AC于点D，则∠BDC为( B )

A．65° C．80°

B．75° D．85°

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为( B )

3A．

4B．

2C．

D．

3 2

10．如图，△AOB为等腰三角形，AO＝AB，顶点A的坐标为(2，5)，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为( C )

2010?A．??3，3? 204?C．??3，35?

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__(－2,3)__.

12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为__12__. 164?

B．??3，35? 16?D．??3，43?

13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△24EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为____. 5

14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__.

15．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC

的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.

16．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3,0)、B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2020的直角顶点的坐标为__(8076,0)__.

三、解答题(共52分)

17．(6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．

(1)点A的坐标为__(2,7)__，点C的坐标为__(6,5)__；

(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则平移后点M1的坐标为__(a－7，b)__；

(3)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2，请在网格内画出一个△A2B2C2，则点A2的坐标为__(1,3.5)__.

18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．

(1)用直尺和圆规作出对角线AC的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)作出的图形中，连接CE、AF，若AB＝4，BC＝8，且AB⊥AC，求四边形AECF的周长．

解：(1)如图所示：

(2)根据作图，易知四边形AECF是菱形，∴AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA．∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠FAC＝90°，∠B＋∠FCA＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF，∴BF＝FC.∴四边形AECF的周长＝4FC＝2BC＝16.

19．(6分)如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．

解：延长OD.∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°.∵OD＝0.8 m，OE＝0.8 m，∴∠DEB＝45°.∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝x m．∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，1.2＋0.8ABCOx∴＝，即＝，解得x＝4.4.经检验，x＝4.4是原方程的解．故围墙ABBFOF3x＋?3－0.8?的高度是4.4 m.

20．(6分)如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0)，∠COA＝60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.

(1)直接写出点F的坐标；

(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积．

解：(1)(－2,0)．

(2)连接OE、OB、AC，OB与AC相交于点H.∵菱形OABC中，OA＝2，∠COA＝60°，∴∠BOC＝∠BOA＝30°，OB⊥AC，∴OB＝2OH＝2OA·cos∠BOA＝2×2×

＝23，CH＝AH＝2

OA·sin∠BOA＝2×＝1.∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∴∠BOE

2120π×?23?21

＝120°.S阴影＝S扇形OBE－2S△OBC＝－2××23×1＝4π－23.

3602

21．(7分)如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．

(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求A与A1，B与B1，C与C1相对应)

(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；

(3)在(2)的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．(结果保留π)

解：(1)△A1B1C1如图所示． (2)△A2B2C如图所示． (3)根据勾股定理，BC＝

12＋42＝17，所以点B旋转到B2所经过的路径的长＝17.

22．(7分)如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴的正半轴上，正方形OABC的边长是3，点D在AB上，且AD＝1.将△OAD绕着点O逆时针旋转得到△OCE.

(1)求证：OE⊥OD；

(2)在x轴上找一点P，使得PD＋PE的值最小，求出点P的坐标．

(1)证明：∵将△OAD绕着点O逆时针旋转得到△OCE，∴∠AOD＝∠COE.∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＋∠COD＝∠COE＋∠COD＝90°，即∠DOE＝90°，∴OE⊥OD.

(2)解：∵OA＝3，AD＝1，∴D(3,1)．作点D关于x轴对称的点F，连接EF交x轴于点P，此时，PD＋PE的值最小．∵D(3,1)，∴F(3，－1)．∵将△OAD绕着点O逆时针旋转90°得到△

???3＝－k＋b，?k＝－1，OCE，∴E(－1,3)．设直线EF的解析式为y＝kx＋b，∴?∴?∴直线

??－1＝3k＋b，??b＝2，

EF的解析式为y＝－x＋2.当y＝0时，x＝2，∴P(2,0)．

23．(7分)如图，一伞状图形，已知∠AOB＝120°，点P是∠AOB平分线上一点，且OP＝2，∠MPN＝60°，PM与OB交与点F，PN与OA交于点E.

(1)如图1，当PN与PO重合时，探索PE、PF的数量关系；

(2)如图2，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α(0＜α＜60°)，继续探索PE、PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．

解：(1)∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°.∵∠MPN＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF.

(2)过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB.∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°.∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°＝∠MPN，∴∠QPE＋∠EPH＝∠FPH＋∠EPH，∴∠QPE＝∠HPF.在△QPE∠EQP＝∠FHP，

和△HPF中，?PQ＝PH，

??∠QPE＝∠HPF，

∴△QPE≌△HPF，∴PE＝PF，S四边形OEPF＝S四边形OQPH.∵PQ

⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝3，∴S△OPQ＝

OEPF＝2S△OPQ＝

，∴S2

四边形

24．(7分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，使线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.延长EB交DG于点H.在△ADG中，∵∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE.

(2)∵AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴DM＝AM＝2.在Rt△AMG中，根据勾股定理，得GM＝GM＝2＋6，∴BE＝DG＝2＋6.

(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6.理由如下：∵对于△GHE，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△GHE的面积最大．∵对于△BHD，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BHD的面积最大，∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2＋4＝6.

《三角形》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列长度的三条线段，可以组成三角形的是( B ) A．10、5、4 C．1、11、8

B．3、4、2 D．5、3、8

AG2－AM2＝6，∴DG＝DM＋

2．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是( C ) A．10 C．8

B．9 D．6

3．如图，已知∠ABC＝∠BAD.下列条件中，不能作为判定△ABC≌△BAD的条件的是( D )

A．∠C＝∠D C．BC＝AD

B．∠BAC＝∠ABD D．AC＝BD

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( B )

A．5 C．1313

B．513 D．95

5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( B )

A．22 C．32

B．4 D．42

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，点D是边AB的中点，AB＝20，S△CAD＝30，则DE的长度是( B )

A．6 C．91

B．8 D．9

7．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( A )

A．42 dm C．25 dm

B．22 dm D．45 dm

8．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( B )

3A．

43C．

4B．

34D． 5

9．直角三角形的三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2－12a＋36＋|b－8|＝0，那么这个三角形的面积为( C )

A．48 C．67或24

B．63 D．63或24

10．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( D )

A．1,2,3 C．1,1，3

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如图，点A、C都在直线l上，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，点E、B、D到直线l的距离分别是6,3,4，计算图中由线段AB、BC、CD、DE、EA所围成的图形的面积是__50__.

B．1,1，2 D．1,2，3

12．如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°，那么∠BFD的度数为__37.5°__.

13．如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100 m，则河宽AB为__503__m(结果保留根号)．

14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF∶FD＝1∶4连接CF，并延长交AB于点E，则AE∶EB＝__1∶8__.

15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__2__. 2

16．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF1

上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP＋BP＝__12__. 3

三、解答题(共52分)

17．(5分)如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：AC＝BD.

证明：在△ADB和△BCA中， AD＝BC，??

∵?∠DAB＝∠CBA，??AB＝BA，

∴△ADB≌△BCA(SAS)，∴AC＝BD.

18．(6分)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，AC＝16.

(1)求证：BN＝DN； (2)求MN的长．

(1)证明：∵AN平分∠BAC，∴∠1＝∠2.

∵BN⊥AN，

∠1＝∠2，??

∴∠ANB＝∠AND.在△ABN和△ADN中，?AN＝AN，

??∠ANB＝∠AND，＝DN.

(2)解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，DN＝NB，∴CD＝AC－AD＝16－10＝6.又∵点M1

是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN＝CD＝3.

19．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB＝8，AD＝63，AE＝6，求AF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.

(2)解：∵CD＝AB＝8，AE⊥BC，∴AE⊥AD.在Rt△ADE中，DE＝ADAF63AF∽△DEC，∴＝，∴＝，∴AF＝43.

DECD128

20．(6分)如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD.

?63?2＋62＝12.∵△ADF

(1)求证：BE＝AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线； (3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．

(1)证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余．∴∠1＝∠2.∵∠ABC＝∠

DAB＝90°，BC＝AB，∴△CBE≌△BAD，∴BE＝AD.

(2)证明：∵E是AB中点，∴EB＝EA．又∵AD＝BE，∴AE＝AD.∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°，∴∠6＝45°，∴∠6＝∠7.由等腰三角形的性质，得EM＝MD，AM⊥DE，∴AC是线段ED的垂直平分线．

(3)解：△DBC是等腰三角形．理由：由(2)，得CD＝CE.由(1)，得CE＝BD.∴CD＝BD，∴△DBC是等腰三角形．

21．(7分)在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE交于点O. (1)如图1，若M、N分别是OB、OC的中点，求证：OB＝2OD； (2)如图2，若BD⊥CE，AB＝8，BC＝6，求AC的长．

(1)证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，∴点D、E分别是AC、AB的中点，∴1DODE1

DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEO∽△BCO，∴＝＝，∴OB＝2OD.

2BOBC2

(2)解：∵AB＝8，BC＝6，点D、E分别是AC、AB的中点，∴BE＝4，DE＝3.又∵BD⊥CE，∴DE2＝DO2＋EO2，BC2＝BO2＋CO2，BE2＝BO2＋EO2，CD2＝DO2＋CO2，∴DE2＋BC2＝BE2＋CD2，即32＋62＝42＋CD2，解得CD＝29，∴AC＝2CD＝229.

22．(7分)城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14 m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i＝1∶2，坝高CF为2 m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2 m的人行道．

(1)求BF的长；

(2)在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由．(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，3≈1.732，2≈1.414)

解：(1)作CM⊥AB于点M，则MBFC为矩形，∴BM＝CF＝2 m，BF＝CM.∵背水坡CD的CF1

坡度为i＝1∶2，∴＝，∴DF＝4 m．∴CM＝BF＝BD＋DF＝14＋4＝18(m)．

DF2

AM3

(2)在Rt△AMC中，∵tan∠ACM＝，∴AM＝CM·tan∠ACM＝18·tan 30°＝18×＝63(m)，

CM3∴AB＝AM＋BM＝63＋2≈12.392(m)．而BE＝BD－DE＝14－2＝12(m)．∵AB＞BE，故需封闭人行道DE.

23．(7分)如图，禁止捕鱼期间，海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

解：设所用时间为x小时．由题意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x.过点A作AD⊥CB的延长线于点D.在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝6，AD＝63.∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)2＝(10x＋6)2＋(63)2，解得x1＝2，3

x2＝－(不合题意，舍去)．即巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时．

24．(8分)已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，EF＝9 cm.如图2，△DEF从图1的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)(0＜t＜4.5)．

(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；

(3)是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP＝AQ.∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EQC＝45°，∴∠DEF＝∠EQC，∴CE＝CQ.由题意知：CE＝t，BP＝2t，∴CQ＝t，∴AQ＝8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10 cm，则AP＝10－2t，∴10－2t＝8－t.解得t＝2.故当t＝2时，点A在线段PQ的垂直平分线上．

(2)如图3，过P作PM⊥BE，交BE于点M，则∠BMP＝90°.在Rt△ABC和Rt△BPM中，ACPMPM881sin B＝＝，∴＝，∴PM＝t.∵BC＝6，CE＝t，∴BE＝6－t，∴y＝S△ABC－S△BPE＝BC·AC

ABBP2t105211184244844

－BE·PM＝×6×8－(6－t)×t＝t2－t＋24＝(t－3)2＋.∵a＝，抛物线开口向上，∴2225555558484

当t＝3时，y最小＝.故当t＝3时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2.

(3)假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上．如图4，过P作PN⊥AC，PNAPAN

交AC于点N，∠ANP＝∠ACB＝∠PNQ＝90°.∵∠PAN＝∠BAC，∴△PAN∽△BAC，∴＝＝，BCABAC8PN10－2tAN6838－t?＝t.∵∠∴＝＝，∴PN＝6－t，AN＝8－t.∵NQ＝AQ－AN，∴NQ＝8－t－??5?5610855ACB＝90°，B、C、E、F在同一条直线上，∴∠QCF＝90°，∴∠QCF＝∠PNQ.∵∠FQC＝∠PQN，636

6－tt6－t5553PNNQ

∴△QCF∽△QNP，∴＝，∴＝.∵0

FCCQ9－tt9－t5Q、F三点在同一条直线上．

图3 图4 《平行四边形》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( D )

A．∠E＝∠CDF C．AD＝2BF

B．EF＝DF D．BE＝2CF

2．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠DAE 的度数为( B )

A．25° C．45°

B．35° D．55°

3．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(－1,0)，点C的坐标是(2,4)，则BD的长是( B )

A．6 C．33

B．5 D．42

4．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列四个判断中不正确的是( D )

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

5．如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接AF，若△ABF的周长为6，则?ABCD的周长为( B )

A．6 C．18

B．12 D．24

6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点(不与A、B重合)，且∠EDF＝∠A．则下列结论错误的是( D )

A．AE＝BF B．∠ADE＝∠BEF C．△DEF是等边三角形 D．△BEF是等腰三角形

7．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为CD的中点，连接AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，AP的长为( B )

A．4 9C．

17B．

4D．5

8．如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD，中间小正方形a－2

的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为(a、b为正整数)，

b则a＋b的值为( B )

A．10 C．12

B．11 D．13

9．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线

交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝6，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的1

距离为3；③EB⊥ED; ④S△APD＋S△APB＝＋2.其中正确结论的序号是( A )

A．①③④ C．②③④

B．①②③ D．①②④

10．在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD面积为( C )

A．4 10C．

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．在?ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则?ABCD的周长等于__12或20__. 12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AC＝6，BD＝8，则阴影部分的面积为__12__. 3B．

10D．30

13．如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为__(5＋1)__cm.(结果不取近似值)

14．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2.则AC长是__43__cm.

15．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__2＋1__.

16．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__23__.[:学|科|网]

三、解答题(共52分)

17．(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2. (1)求证：BE＝DF； (2)求证：AF∥CE.

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3.∵∠1＝∠2，∴∠AEB∠AEB＝∠4，

＝∠4.在△ABE和△CDF中，?∠3＝∠5，

??AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF.

(2)由(1)得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.

18．(6分)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.

(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．

(2)解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD＝AB.

∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC.∵AB＝BC，∴BD＝DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，

2∴四边形DBFE是菱形．

19．(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．

(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形．

(2)解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，∴BE＝3.∵BC＝AB＝5，∴CE＝8，∴AC＝45.∵对角线AC、BD交于点O，∴AO＝CO＝OE＝25.

20．(6分)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP.

(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；

(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的

数量关系？请说明理由．

(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C.在△ABM和△BCP中，AB＝BC，??

?∠ABM＝∠C，??BM＝CP，

∴△ABM≌△BCP(SAS)，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP.∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP.∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，MN＝BP，∴四边形BMNP是平行四边形．

(2)解：BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠ABAMCMQ.又∵∠ABC＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴＝.∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，

MCMQABAMABAB∴＝，∴＝，∴BM＝MC. BMMQMCBM

21．(7分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为点H，交CD于点F，作CG∥AE，交BF于点G.求证：

(1)CG＝BH； (2)FC2＝BF·GF； FC2GF(3)2＝. ABGB

证明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，AB＝BC，∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH.

FCGF(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，∴△CFG∽△BFC，∴＝，即FC2＝BF·GF.

BFFCFC2GF·BFGFFC2GF

(3)同(2)可知，BC＝GB·BF.∵AB＝BC，∴AB＝GB·BF，∴2＝＝，即2＝. BCGB·BFGBABGB

22．(7分)(1)如图1，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD、

BC于点E、F.求证：AE＝CF；

(2)如图2，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I.求证：EI＝FG.

证明：(1)如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2.在△AOE∠1＝∠2，??

和△COF中，?OA＝OC，

??∠3＝∠4，

∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF.

(2)如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.由(1)，得AE＝CF，由折叠的性质可得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D.又∠A＝∠C，

∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.在△AIE与△CGF中，?∠5＝∠6，

??AE＝CF，

∴△

A1IE≌△CGF，∴EI＝FG.

23．(7分)如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．

24．(7分)如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.

(1)求证：EF＝EG；

(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求

的值． EG

(1)证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠GEB.在△FED和△GEB∠DEF＝∠GEB，??

中，?ED＝EB，

??∠D＝∠EBG，

∴△FED≌△GEB，∴EF＝EG.

(2)解：成立．证明：如图2，过点E作EH⊥BC于点H，过点E作EP⊥CD于点P.∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD.又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH＝EP，∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP＝90°.∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠PEF＋∠HEF＝90°，∴∠PEF＝∠GEH，∴Rt△FEP≌Rt△GEH，∴EF＝EG.

(3)解：如图3，过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N，垂足分别为M、N，NECEEMCENE则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD.∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴＝，＝，∴

ADCAABCAAD＝

EMENADCB

，即＝＝.∵∠NEF＋∠FEM＝∠GEM＋∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN.∵∠GME＝∠ABEMABAB

EFENEFbFNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴＝，∴＝. EGEMEGa

《图形及其变化》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( C )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

2．如图是某几何体的三视图，该几何体是( B )

A．圆锥 C．棱柱

B．圆柱 D．正方体

3．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图，在该正方体中，和“超”相对的字是( C )

A．沉 C．自

B．信 D．着

4．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是( C )

5．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为( C )

A．16 cm C．20 cm

B．18 cm D．22 cm

6．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( C )

A．(2,10) C．(2,10)或(－2,0)

B．(－2,0) D．(10,2)或(－2,0)

7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2)、B(3,1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为( C )

A．(3,1) C．(4,4)

B．(3,3) D．(4,1)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧分别1

交AB、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，

2作射线BP交AC于点D，则∠BDC为( B )

A．65° C．80°

B．75° D．85°

3A．

52C．

4B．

5D．

3 2

2010?A．??3，3? 204?C．??3，35?

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__(－2,3)__. 12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为__12__. 164?

B．??3，35? 16?D．??3，43?

13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△24EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为____. 5

14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__.

15．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.

16．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3,0)、B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2020的直角顶点的坐标为__(8076,0)__.

三、解答题(共52分)

17．(6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．

(1)点A的坐标为__(2,7)__，点C的坐标为__(6,5)__；

(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则平移后点M1的坐标为__(a－7，b)__；

(3)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2，请在网格内画出一个△A2B2C2，则点A2的坐标为__(1,3.5)__.

18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．

(1)用直尺和圆规作出对角线AC的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)作出的图形中，连接CE、AF，若AB＝4，BC＝8，且AB⊥AC，求四边形AECF的周长．

解：(1)如图所示：

20．(6分)如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0)，∠COA＝60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.

(1)直接写出点F的坐标；

(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积．

解：(1)(－2,0)．

(2)连接OE、OB、AC，OB与AC相交于点H.∵菱形OABC中，OA＝2，∠COA＝60°，∴∠BOC＝∠BOA＝30°，OB⊥AC，∴OB＝2OH＝2OA·cos∠BOA＝2×2×

＝23，CH＝AH＝2

OA·sin∠BOA＝2×＝1.∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∴∠BOE

2120π×?23?21

＝120°.S阴影＝S扇形OBE－2S△OBC＝－2××23×1＝4π－23.

3602

21．(7分)如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一

个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．

(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求A与A1，B与B1，C与C1相对应)

(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；

(3)在(2)的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．(结果保留π)

解：(1)△A1B1C1如图所示． (2)△A2B2C如图所示． (3)根据勾股定理，BC＝

12＋42＝17，所以点B旋转到B2所经过的路径的长＝17.

222．(7分)如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴的正半轴上，正方形OABC的边长是3，点D在AB上，且AD＝1.将△OAD绕着点O逆时针旋转得到△OCE.

(1)求证：OE⊥OD；

(2)在x轴上找一点P，使得PD＋PE的值最小，求出点P的坐标．

???3＝－k＋b，?k＝－1，OCE，∴E(－1,3)．设直线EF的解析式为y＝kx＋b，∴?∴?∴直线

?－1＝3k＋b，???b＝2，

EF的解析式为y＝－x＋2.当y＝0时，x＝2，∴P(2,0)．

23．(7分)如图，一伞状图形，已知∠AOB＝120°，点P是∠AOB平分线上一点，且OP

＝2，∠MPN＝60°，PM与OB交与点F，PN与OA交于点E.

(1)如图1，当PN与PO重合时，探索PE、PF的数量关系；

(2)如图2，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α(0＜α＜60°)，继续探索PE、PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．

解：(1)∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°.∵∠MPN＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF.

和△HPF中，?PQ＝PH，

??∠QPE＝∠HPF，

∴△QPE≌△HPF，∴PE＝PF，S四边形OEPF＝S四边形OQPH.∵PQ

⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝3，∴S△OPQ＝

OEPF＝2S△OPQ＝

，∴S2

四边形

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，使线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，

AG＝AE，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.延长EB交DG于点H.在△ADG中，∵∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE.

《圆》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是( D ) A．正三角形 C．正五边形

B．正四边形 D．正六边形

AG2－AM2＝6，∴DG＝DM＋

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( B )

A．相离 C．相交

B．相切 D．相切或相交

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则tan∠COE＝( B )

3A．

53C．

4B．

34D． 5

4．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度(∠BAC)为120°，骨柄AB的长为30 cm，扇面的宽度BD的长为20 cm，那么这把折扇的扇面面积为( C )

400πA． cm2

3800πC． cm2

500πB． cm2

3D．300π cm2

5．如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( D )

A．42 C．4

B．2 D．22

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA等于( D )

A．

B．

3 3

C．3 D．2

7．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA＝30°，点D的坐标为(0,2)，则⊙C的半径是( B )

43A．

3C．43

23B．

3D．2

8．已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则圆锥的侧面积是( B ) A．6 cm2 C．6π cm2

B．3π cm2 3

D． cm2

9．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( C )

A．10 C．13

B．23 D．32 x

10．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上的一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝63 cm；③sin∠AOB＝是菱形．其中正确结论的序号是( B )

；④四边形ABOC2

A．①③ C．②③④

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如图所示，截面为圆形的油槽内放入一些油，若圆的直径为150 cm，油的最大深度DC为30 cm，那么油面宽度AB是__120__cm. B．①②③④ D．①③④

12．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M在FG 上，则∠FMG的大小为__120°__.

︵

13．如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(不与点A、B重合)，连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，那么EF＝__5__.

14．如图，如果圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，那么∠A＝__40°__.

15．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC＝∠B.过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB＝5，BD＝2，则线段AE的长为__5__. 2

16．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中CD ，DE ，EF 的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长__4π__.

︵︵︵

三、解答题(共52分)

17．(5分)已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，1

垂足为D，若AD＝8，tan A＝. 2

(1)求弦BC的长； (2)求⊙O半径的长．

1BD1

解：(1)∵AD⊥BC，tan A＝，∴＝.∵AD＝8，∴BD＝4.又∵经过圆心O的直线AD⊥BC，

2AD2∴BC＝2BD＝8.

(2)连接OC.设⊙O的半径为r，那么OD＝8－r.在Rt△COD中，(8－r)2＋42＝r2，解得r＝5.即⊙O的半径为5.

18．(6分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC、AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.[:学科网]

证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A．∵∠A＝∠F，∴∠BCG＝BCBF

∠F.又∠CBG＝∠FBC，∴△BCG∽△BFC，∴＝，∴BC2＝BG·BF.

BGBC

19．(6分)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.

(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；

(2)若AC＝210，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．

(1)证明：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的

切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD，∴∠ABC＝2∠CAF.

(2)解：连接AE，∴∠AEB＝90°.设CE＝x，∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，∴x＝2，∴CE＝2.

20．(7分)如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点G，E是AG上一点，点D在⊙O上，且为△BCE的内心，BE交AD于点F，且∠DBE＝∠BAD.

(1)求证：BC是⊙O的切线； (2)求证：DF＝DG.

证明：(1)∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠CBD.又∵∠DBE＝∠BAD，∴∠CBD＝∠BAD.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°.在Rt△BAD中，∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CBD＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°.∴BC⊥AB.又∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线．

(2)连接ED，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED.∵∠EFD为△BFD的外角，∴∠EFD＝∠ADB＋∠EBD＝90°＋∠EBD.∵四边形ABDG为圆的内接四边形，∴∠EGD＝180°－∠ABD＝180°－(90°－∠CDB)＝90°＋∠CDB.又∵∠EBD＝∠CDB，∴∠EFD＝∠EGD.又∵ED＝ED，∴△DFE≌△DGE(AAS)，∴DF＝DG.

21．(7分)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF、CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C、点A在旋转过程中形成的AC 、AG 与线段CG所围成的阴影部分的面积．

︵︵

(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC绕点B逆时针旋转

90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.

(2)解：∵AD＝2，E是AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝×2＝1，∴AF＝

22＝5.由平行四边形的性质，得S△FEC＝S△CGF，∴S

AB2＋BF2＝22＋12

阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝

90·π·221190·π·?5?25π

＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－. 3602236024

22．(7分)车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置)．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4 m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．

图1 图2 图3

(1)试说明长8 m，宽3 m的消防车不能通过该直角弯道；

(2)为了能使长8 m，宽3 m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧)，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．

解：(1)如图4，作FH⊥EC，垂足为H.∵FH＝EH＝4，∴EF＝42，且∠GEC＝45°.∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝42－4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角弯道 .

图4 图5

(2)如图5，若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝42，∴OF＝ON＝OM－MN＝42－4，∴FG＝OG－OF＝4－(42－4)＝8－42＜3，∴C、

D在MM′ 上．设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理，得OG2＋CG2＝OC2，即(x＋3)2＋42＝(x＋4)2，解得x＝4.5.故ON至少为4.5米．

23．(7分)平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(10,0)，已知点C为OA中点，以C为圆心作半圆，点B是该半圆周上的一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF.

(1)当∠AOB＝30°时，求AB 的长； (2)当DE＝8时，求线段EF的长．

︵︵

解：(1)连接BC.∵A(10,0)，∴OA＝10，CA＝5，∵∠AOB＝30°，∴∠ACB＝2∠AOB＝60°，∴AB ＝

60π×55

＝π. 1803

(2)①若D在第一象限，连接OD，如图1.∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA＝90°.又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD＝OA＝10.在Rt△ODE中，OE＝OD2－DE2＝6，∴AE＝AO

︵AEEF－OE＝10－6＝4.∵∠AOB＝∠ADE＝90°－∠OAB，∠OEF＝∠DEA，∴△OEF∽△DEA，∴＝，DEOE4EF

即＝∴EF＝3. 86

图1 图2

②若D在第二象限，连接OD，如图2.∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA＝90°.又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD＝OA＝10.在Rt△ODE中，OE＝

OD2－DE2＝6，∴AE＝AO

＋OE＝10＋6＝16.∵∠EOF＝∠AOB＝90°－∠OAB＝∠ADE，∠OEF＝∠DEA，∴△OEF∽△DEA，∴AEEF16EF

＝，即＝，∴EF＝12.综上可得EF＝3或12. DEOE86

24．(7分)在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC

＝∠DEC，延长BE交AC于点G，交⊙O于点H.

(1)求证：AC⊥BH；

(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．

(1)证明：连接AD.∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，∴∠DAC＝∠EBC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCA＋∠DAC＝90°，∴∠EBC＋∠DCA＝90°，∴∠BGC＝180°－(∠EBC＋∠DCA)＝180°－90°＝90°，∴AC⊥BH.

(2)解：∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD.∵BD＝8，∴AD＝8.又∵∠ADC＝90°，AC＝10，∴DC＝

AC2－AD2＝

102－82＝6，∴BC＝BD＋DC＝8＋6

CGBCCG14＝14.又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，∴△BCG∽△ACD，∴＝，即＝，∴CG

DCAC61042CECG

＝.连接AE.∵AC是直径，∴∠AEC＝90°.又∵EG⊥AC，∴△CEG∽△CAE，∴＝，即CE2＝5ACCE42AC·CG＝10×＝84，∴CE＝84＝221. 5

《函数的图象与性质》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．函数y＝A．x≠3

C．x≥－2且x≠3

x＋2

的自变量的取值范围是( C ) x－3

B．x≥－2 D．x≥3

3．已知二次函数y＝－(x－h)2＋4(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为( A )

A．－1和6 C．－1和3

B．2和6 D．2和3

4．若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( C ) A．(2,2)

C．(2,2)或(－2，－2)

B．(－2，－2) D．(－2,2)或(2，－2)

5．一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象大致是( C )

6．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S

阴影

＝1，则S1＋S2＝( D )

A．3 C．5

B．4 D．6

7．抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( A )

A．(4，－1) C．(－2，－3)

B．(0，－3) D．(－2，－1)

8．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为( A )

A．y1>y2>y3

B．y1>y3>y2

C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中所有正确结论的序号是( C )

A．③④ C．①④

B．②③ D．①②③

不变，则经过动点A的反比例函数y＝(k≠0)中k的值的变化情况是( C )

A．一直增大 C．先增大后减小

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．一次函数y＝kx＋b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k·b的值是__2或－7__.

12．若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__.

13．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是__m＞1__.

14．如图，直线x＝2与反比例函数y＝和y＝－的图象分别交于A、B两点，若点P

xx是y轴上任意一点，则△PAB的面积是__1.5__.[:Zxxk.Com]

B．一直减小 D．先减小后增大

15．如图，点A在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交

OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为__27__.

三、解答题(共52分)

17．(6分)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A(－2,0)、B(0,3)．

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)过点B的另外一条直线l与x轴交于点C(c,0)，若点A、B、C构成面积不大于6的三角形，求c的取值范围．

??－2k＋b＝0，

解：(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b，把A(－2,0)、B(0,3)代入，得?解

??b＝3，

3??k＝2，3

得?所以一次函数解析式为y＝x＋3.

?b＝3，?

1(2)根据题意得·3·|c＋2|≤6，即|c＋2|≤4，所以－6≤c≤2且c≠－2.

(1)当t为何值时，四边形OBPQ的面积为8； (2)连接AQ，当△APQ是直角三角形时，求Q的坐标．

(1)填空：A、B两地相距__420__千米；

(2)求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； (3)客、货两车何时相遇？

解：(2)由图可知货车的速度为60÷2＝30(千米/时)，货车到达A地一共需要2＋360÷30

???2k＋b＝0，?k＝30，

＝14(小时)．设y2＝kx＋b，代入点(2,0)、(14,360)，得?解得?所

?14k＋b＝360，???b＝－60，

以y2＝30x－60.

???6m＋n＝0，?m＝－60，

(3)设y1＝mx＋n，代入点(6,0)、(0,360)，得?解得?所以y1＝

???n＝360，?n＝360，

1414

－60x＋360.由y1＝y2，得－60x＋360＝30x－60，解得x＝.故客、货两车经过小时相遇．

20．(6分)已知某市2017年企业用水量x(吨)与该月应缴的水费y(元)之间的函数关系如图．

(1)当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费

20共600元，求这个企业该月的用水量．

解：(1)设y关于x的函数关系式y＝kx＋b.∵直线y＝kx＋b经过点(50,200)，(60,260)，∴

???50k＋b＝200，?k＝6，?解得?∴y关于x的函数关系式是y＝6x－100. ?60k＋b＝260，???b＝－100，

(2)由图可知，当y＝620时，x＞50，∴6x－100＝620，解得x＝120.故该企业2018年10月份的用水量为120吨．

(3)由题意得6x－100＋(x－80)＝600，化简，得x2＋40x－14 000＝0，解得x1＝100，

20x2＝－140(不合题意，舍去)．故这个企业2019年3月份的用水量是100吨．

21．(6分)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与y轴交于A(0,4)，与x轴交于B、C

2两点，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于A(0,4)，与x轴交于B、C两点，点C坐标为

1??c＝4，a＝－，??134

(8,0)，∴?解得?∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.

???64a＋12＋c＝0，?c＝4，

(2)△ABC为直角三角形，理由如下：当y＝0时，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝8，x2＝

－4，?，22．(7分)如图，已知A?B(－1,2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(m≠0，2??xm＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．[:学科网ZXXK]

解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故一次函数的值大于反比例函数的值．

15111

x，x＋?.由△PCA和△PDB面积相等，得××(x＋4)＝×|－(3)连接PC、PD，设P??22?22215555155

2－x－?，解得x＝－，则y＝x＋＝，∴点P的坐标是?－，?. 1|×??22??24?2224

15m

故一次函数的解析式为y＝x＋.反比例函数y＝图22x

(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．

24．(8分)如图，已知抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

42(1)求点A、B、C的坐标；

(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A、B、E、F为顶点的平行四边形的面积；

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)令y＝0，得－x2－x＋2＝0，∴x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或2，∴点A坐标为

42(2,0)，点B坐标为(－4,0)．令x＝0，得y＝2，∴点C坐标为(0,2)．

(2)①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝－1，∴点E的横坐标为－7或272727

－7，－?或?5，－?，此时点F?－1，－?，∴以A、B、E、F为顶点5，∴点E坐标为?4??4?4???的平行四边形的面积为6×

92781

－1，?，设对称轴与x＝；②当点E在抛物线顶点时，点E?4??42

轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A、B、E、F为顶点的平1927

行四边形的面积为×6×＝.

222

(3)如图所示，①当C为顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于点N.在Rt△CM1N中，CN＝2

CM21－M1N＝7，∴点M1坐标为(－1,2＋7)，点M2坐标为(－1,2－7)；②当M3为

顶点时，∵直线AC解析式为y＝－x＋2，线段AC的垂直平分线为y＝x，∴点M3坐标为(－1，－1)；③以点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述，点M坐标为(－1，－1)或(－1,2＋7)或(－1,2－7)．

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