高等数学下册总复习

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〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点； （3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

? （1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2?????{x,y,z}?xi?yj?zk。其中i、j、k为三个坐标轴

????x1，y2?y1，z2?z1?}。

ax?ay?az222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=?a?时，这个向量叫单位向量；与向量a???,a,a|a|=，则xyz?a=?|a|。当向量的模为1

?同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设

?a=?ax,ay,az?，则

?a?cos???x??|a|?ay?? ?cos????|a|??a?cos???z??|a|??axax?ay?azaya2x222

2y?aaz?a2zax?ay?az222且cos2??cos2??cos2??1，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量?cos??,cos?,cos??是与a?同方向

的单位向量。

3．向量的运算

设a=?a???b,a,a，xyz=?bx,by,bz?，则

（1）数乘运算：ka???ka??x,kay,kaz?；

?；

（2）加减运算：a?b?ax?bx,ay?by,az?bz?1

??（3）数量积：a?b?????=|a||b|cos(a,b)=axbx?ayby?azbz。

??（4）向量积： a?b?i?jayby?kazbz=

axbx

两个非零向量a与b相互垂直?a?b=0；两个非零向量a、b平行?a?b=0?分量成比例）。

?两个向量a?????????axbx?ayby?azbz（即对应

?与b???的夹角：cos(a,b)??a?b=??|a||b|=

a2xaxbx?ayby?azbz?a2y。

?2bz?a2z2bx?b2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

?设平面过点M0(x0,y0,z0)， n（2）平面的一般方程

?{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0。

Ax?By?Cz?D?0。

?在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的?法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中， ①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x?3z?5?0平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z?5?0垂直于z轴。 5．直线的方程

?（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

x?x0m?y?y0n?z?z0p

（2）直线的一般式方程 ??A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C2z?D2?0。

?i?jB1B2?kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 s??A1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面 (x?椭球面

xax0)222?(y?y0)222?(z?z0)2?R2

?yb??x22zc?22?1 y22椭圆抛物面 zab (当a?b时为旋转抛物面)

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椭圆锥面 z2?xa22?yb22 （当a?b时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)?0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线

f(y,z)?0绕z轴旋转的曲面方程为

f(?x2?y,z)?02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线??G(x,y)?0?z?0?F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0一般方程中的变量z

消去所得的含x、y的方程G(x,y)?0，则 ??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0

为空间曲线?

在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：y?f(x1,x2,?,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：z?arcsinu或arccosu中|u|≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)?Ax?x0y?y0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的． ，

（1） 理解二重极限的定义

（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)?f(P0)．

P?P0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

3

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

?z?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?z?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义． （2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示成A??x?B??y?o(?)，则z?f(x,y)在点

(x0,y0)处可微；称A??x?B??y为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dz?A??x?B??y．

?z?x?y2??z?y?x2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（A??z?x，B??z?y；dz??z?xdx??z?ydy）

偏导数存在，不一定可微（?z?dz是否为o(?)）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1）

?z?x??z?u??u?x??z??v?v?x

?z?y??z?u??u?y??z?v?y??v

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握． （3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形

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