【考点】组合，周期问题，容斥原理 【难度】☆☆ 【答案】10
【解析】依题意，语、数、英的诊断日期分别是2的倍数、3的倍数、4的倍数，可见进行英语诊断时也一
定在进行语文诊断，故只考虑语文和数学即可，可见每?2,3?=6天一周期．
方法一（周期法）：从1号开始，每一周期6天中只有第1天和第5天没有任何诊断，30?6=5，故有5个完整周期，答案是2?5=10（天）．
方法二（容斥原理）：30以内即不是2的倍数也不是3的倍数的数有 30?30?2?30?3+30?6=30?15?10?5=10（个）．
12．如右图所示，一个
1圆AOB，半径是10厘米，绕A点顺时针旋转90度，扫过的面积（即整个图形的4面积）是_________平方厘米．（?=3）
【考点】几何，圆与扇形，勾股定理 【难度】☆☆☆ 【答案】225
【解析】如图所示，所求面积即为大扇形的面积加上小扇形的面积：
根据勾股定理，AB2?102?102?200，故大扇形的面积是200??90=50?；小扇形的面积是360102??90=25?，故总面积是50?+25?=75?=225． 360
13．甲、乙、丙、丁四个人在比赛前就对名次进行了预测，下表是四个人的预测：
甲的预测 乙的预测 丙的预测 丁的预测 第1名 第2名 第3名 第4名 乙 丙 甲 丁 甲 乙 丁 丙 9 / 15
丙 丁 甲 乙 乙 丙 丁 甲
比赛结束之后，当对比预测和实际结果时，发现乙和丁预测对了两个人的名次，而甲和丙只预测对了一个人的名次．如果甲、乙、丙、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数ABCD?_________． 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆☆ 【答案】1423
【解析】对于第4名的预测各不相同，可知必有1个人预测对过，对第3名的预测要么对2个，要么没人
对，但若没人对，全部预测正确的次数最大为2+2+0+1=5，与共预测对了6次的事实相矛盾，可见第3名要么是甲，要么是丁．
若第3名是甲，则甲的预测已有一个正确，故知甲的其它3个预测都是错误的，其中第1名不是乙，进而丁的4个预测中第1、3名都预测错了，故第2、4名预测对了，所以甲是第4名，这与假设矛盾，故假设错误，若有正确答案，第3名应该是丁．
若第3名是丁，则甲对第3、4名的预测就都错了，故知甲对第1、2名的预测中有1个事正确预测；但同时丁对第1、2名的预测与甲完全相同，故知丁在第1、2、3名的预测中已经对了2个，可见丁对第4名的预测是错误的，即甲不是第4名；若甲是第2名，则四人对第2名的预测全错，进而无法满足共预测对了6次这个条件，可见甲不是第2名，故甲为第1名；进而由甲的预测可知丙第2名，进而乙第4名，完全符合条件． 综上可知本题有唯一答案1423．
14．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是_________． 【考点】数论，因数个数定理，最小公倍数 【难度】☆☆☆ 【答案】2520
【解析】这个数的理论最小值是?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?=2520，同时2520=23?32?5?7，根据因数个数定理，
它确实有(3?1)?(2?1)?(1?1)?(1?1)?48个因数．
15．甲、乙在A地，丙在B地同时出发，相向而行，到达目的地后立即返回．当甲丙相遇时，乙恰好走到AB
两地的中点；当乙丙相遇时，甲恰好走到B．当甲乙相遇时，丙走了2014米，AB两地相距_________米．
【考点】行程，比例行程 【难度】☆☆☆ 【答案】5035
【解析】根据“当甲丙相遇时，乙恰好走到AB两地的中点”可知v甲+v丙=2v乙；根据“当乙丙相遇时，甲恰
好走到B地”可知v乙+v丙=v甲，故可解得v甲：v乙：v丙=3:2:1；故甲乙相遇时，甲走了3份，乙走了2份，丙走了1份．可见每份是2014米．那么甲乙共走的两个全长，同时甲乙共走了5份，故知全长为2014?2?5=5035米．
16．如下左图，一个圆柱形玻璃杯内放有一个半径和高都与圆柱相等的圆锥形铁块．现在向杯内倒水，当
水面高度是杯高的三分之二时，还需再倒260立方厘米的水才能将被子倒满．这个圆锥形铁块的体积是_________立方厘米．
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【考点】几何，比例型立体几何 【难度】☆☆☆ 【答案】270
11111【解析】水面之上的小圆锥，半径和高都是大圆锥的 ，故体积是大圆锥体积的??=，设小圆锥
3332731体积为x 立方厘米，则大圆锥体积为27x立方厘米，有方程260?x?V圆柱?V大圆锥=27x；易见
3x?10，27x?270．
三、解答题（本大题共6题） 17．计算：
（1）20.14?47+201.4?3.3+10.07?40 （2）12?22+32?42+52?62?72?82?92 （3）
151111131?+++?? 26122030427?1x?y?4??2（4）解方程组：?
2x?13?y??1??6?3
【考点】计算（提取公因数，平方差公式，分数裂项），解方程组 【难度】☆☆
?x?2【答案】（1）2014 （2）45 （3）0 （4）?
y?3?【解析】（1）原式=20.14?47?20.14?33?20.14?20=20.14?(47?33?20)?20.14?100?2014．
（2）原式=(92?82)?(72?62)?(52?42)?(32?22)?12=(9+8)+(7+6)+(5+4)+(3+2)+1=45．
111111111111（3）原式=?(?)?(?)?(?)?(?)?(?)?
223344556677111111111111=???????????=0 223344556677?x?2y?8（4）化为整式方程?，
4x?2?6?(3?y)??x?2y?8再化为最简整式方程：?；
4x?y?5?上式与下式的2倍相加，消去y，得到9x?18，解得x?2 ， ?x?2带回原式得到?．
y?3?
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18．列方程（组）解应用题：
有一筐桔子和苹果，桔子个数是苹果的3倍．现将它们分给小朋友们，每人分5个桔子和2个苹果，最后还剩下11个桔子和1个苹果．原来桔子、苹果各有多少个？ 【考点】列方程（组）解应用题 【难度】☆☆
【答案】桔子51个，苹果17个．
【解析】设有x名小朋友，则桔子有5x?11个，苹果有2x?1个，故有方程5x?11?3(2x?1)，解得x?8，
故桔子有5?8?11=51个，苹果有2?8?1=17个．
19．如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从A点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一
圈的时间分别为6、10、16分钟．
（1）出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过A点？
（2）出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰
好为正方形ABCD面积的一半？
【考点】数论（最小公倍数），行程（比例行程），几何（比例面积） 【难度】☆☆☆☆☆
【答案】（1）240；（2）36． 【解析】（1）?6,10,16?=240分钟．
（2）引理：长方形的内接三角形面积不超过此长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个
顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，第三个顶点在长方形的对边上．证明如下： ①若此三角形只有1个顶点在长方形顶点上，适当割补图形，能证明面积必然小于一半；
②若此三角形有某两点在同一条边上，易见面积不超过一半，且等号成立条件恰如上述条件：
③若此三角形的3个顶点分属长方形的三条边，则可转化成情形①，面积一定小于一半；
④若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个对顶点上，而此三角形的第3个顶点不在长方形顶点处，也易见面积小于一半；
⑤若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，则第3个顶点若不在对边上，则面积小于一半；若在对边上（含顶点处）则面积等于一半；
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