2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
【名师简评】该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第12题，填空题的16题，解答题第22题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是出来不是那么很容易。整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。 一、选择题 1．复数
? 1?iA．2?i B．2?i C．1?2i D．1?2i
?1?3i答案C
【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解。 【解析】因为
?1?3i1?i?(?1?3i)(1?i)(1?i)(1?i)?2?4i2?1?2i
2．已知集合A?1,3,m,B??1,m?,A?B?A，则m?
A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3
答案B
【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想。
【解析】?A?B?A ?B?A，?A?1,3,m,B??1,m?
?m?A，故m?????m或m?3，解得m?0或m?3或m?1，又根据集合元素的互异性
m?1，所以m?0或m?3。
3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为
A．答案C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为2c?4?c?2，由一条准线方程为x??4可得该椭圆的焦点在x轴上县a2x216?y212?1 B．
x216?y28?1 C．
x28?y24?1 D．
x212?y24?1
c?4?a?4c?8，所以b?a?c?8?4?4。故选答案C
22224．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,CC1?22,E为CC1的中点，则直线AC1
与平面BED的距离为 A．2 B．
3 C．2 D．1
答案D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为2，高为22，且连接AC,BD，得到交点为O，连接EO，则点C1到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过点C作CH?OE，EO//AC1，
则CH即为所求，在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH?1，故选答案D。 ?1?5．已知等差数列?an?的前n项和为Sn,a5?5,S5?15，则数列??的前100项和为
?anan?1?A．
100101 B．
99101 C．
99100 D．
101100
答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。 【解析】由Sn,a5?5,S5?15可得
?a1?4d?5???a1?1???an?n ?5?4d?15??5a1??d?1?2?1anan?1?1n(n?1)12)?(12??131n?1n?1
111100101101101???????????????????ABCCDCB?a,CA?b,a?b?0,|a|?1,|b|?2AB6．中，边上的高为，若，则AD?
1?1?2?2?3?3?4?4?A．a?b B．a?b C．a?b D．a?b
33335555S100?(1?)???(100?)?1??
答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用。
??【解析】由a?b?0可得?ACB?90?，故AB?5，用等面积法求得CD?255，所以
AD?455????4????4????????4?4?，故AD?AB?(CB?CA)?a?b，故选答案D
55557．已知?为第二象限角，sin??cos??33，则cos2??
A．?答案A
53 B．?59 C．59 D．53
【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题。 【解析】sin??cos??33，两边平方可得1?sin2??13?sin2???23
??是第二象限角，因此sin??0,cos??0，
23153所以cos??sin???(cos??sin?)??1?2??
?cos2??cos??sin??(cos??sin?)(cos??sin?)??2253
8．已知F1,F2为双曲线C:x2?y2?2的左右焦点，点P在C上，|PF1|?2|PF2|，则
cos?F1PF2?
A．
14 B．
35 C．
34 D．
45
答案C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，a?2?b,?c?2，设|PF1|?2x,|PF2|?x，则
|PF1|?|PF2|?x?2a?22，故|PF1|?42,|PF2|?22，F1F2?4，利用余弦定理可
得cos?F1PF2?PF1?PF2?F1F22PF1?PF2?12222?(42)?(22)?42?22?42222?34。
9．已知x?ln?,y?log52,z?e答案D
，则
A．x?y?z B．z?x?y C．z?y?x D．y?z?x 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。 【解析】ln??lne?1，log52?log55?12，z?e?12?1e?14?12，故选答案D。
10．已知函数y?x3?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点，则c?
A．?2或2 B．?9或3 C．?1或1 D．?3或1 答案A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。
【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而f?(x)?3x2?3?3(x?)(x?1)，当x??1时取得极值 由f(1)?0或f(?1)?0可得c?2?0或c?2?0，即c??2。
11．将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，
则不同的排列方法共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案A
【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。
【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有3?2?2?12。
[来源:学.科.网]
3712．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE?BF?，动点
每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。P从E出发沿直线向F运动，
当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
A．16 B．14 C．12 D．10 答案B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。
【解析】解：结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。 二、填空题
?x?y?1?0??13．若x,y满足约束条件?x?y?3?0，则z?3x?y的最小值为 。
???x?3y?3?0答案：?1
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为?1。
]
14．当函数y?sinx?3cosx(0?x?2?)取得最大值时，x? 。
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