（Ⅱ）因为f(x)?1?sinx?ax?cosx?1?sinx?ax?1?sinx?cosx 当x?0时，0?1?sin0?cos0?0恒成立 当0?x??时，ax?1?sinx?cosx?a?令g(x)?g?(x)?1?sinx?cosxx(0?x??)，则
?(1?x)cosx?(x?1)sinx?1x21?sinx?cosxx?a?[1?sinx?cosxx]min
(cosx?sinx)x?1?sinx?cosxx2
又令c(x)?(1?x)cosx?(x?1)sinx?1，则
c?(x)?cosx?(1?x)sinx?sinx?(x?1)cosx??x(sinx?cosx)
则当x?(0,当x?(3?43?4)时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递减
,?]时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递增
3?4)??2?1，而
所以c(x)在x?(0,?]时有最小值c(x?0lim?c(x)?(1?0)cos0?(0?1)sin0?1?0，lim?c(x)?c(?)??(1??)?1?0
x??综上可知x?(0,?]时，c(x)?0?g?(x)?0，故g(x)在区间(0,?]单调递 所以[g(x)]min?g(?)?2?
2故所求a的取值范围为a??。
2另解：由f(x)?1?sinx恒成立可得f(?)?1?a??1?1?a?令g(x)?sinx?当x?(0,arcsin又g(0)?g(故当a?22x(0?x??
?2?2)，则g?(x)?cosx?2?
?)时，g?(x)?0，当x?(arcsin22?,)时，g?(x)?0[来源:学科网] ?2?2)?0，所以g(x)?0，即
2?x?sinx(0?x??2)
?时，有f(x)??2?x?cosx（lbylf x）
①当0?x?②当
?2时，
2?x?sinx，cosx?1，所以f(x)?1?sinx
2x?cosx?1?22(x??x??时，f(x)??2??)?sin(x??2)?1?sinx
综上可知故所求a的取值范围为a?。 ?【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，
这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 21．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．已知抛物线C:y?(x?1)2与圆M:(x?1)2?(y?A处两曲线的切线为同一直线l。[来源:学*科*网]
12)?r(r?0) 有一个公共点A，且在
22（1）求r；
（2）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的
距离。
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。
解：（1）设A(x0,(x0?1)2)，对y?x?(x?1)2求导得y??2(x?1)，故直线l的斜率
k?2(x0?1)，当x0?1时，不合题意，所心x0?1
2圆心为M(1,)，MA的斜率k??21(x0?1)?x0?112
由l?MA知kk???1，即2(x0?1)?(x0?1)?x0?1212??1，解得x?0，故A(0,1) 0所以r?|MA|?(1?0)?(212?1)?252 2（2）设(a,(a?1))为C上一点，则在该点处的切线方程为y?(a?1)?2(a?1)(x?a)即
y?2(a?1)x?a?1
22若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为52，即
|2(a?1)?1?212?a?1|22?52，化简可得a(a?4a?6)?0
22[2(a?1)]?(?1)求解可得a0?0,a1?2?10,a2?2?10 2抛物线C在点(ai,(ai?1))(i?0,1,2)处的切线分别为l,m,n，其方程分别为
y?2x?1① y?2(a1?1)x?a1?1② y?2(a2?1)x?a2?1③
22②－③得x?a1?a22?2，将x?2代入②得y??1，故D(2,?1)
所以D到直线l的距离为d?|2?2?(?1)?1|2?(?1)22?655。
【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．
函数f(x)?x2?2x?3。定义数列?xn?如下：x1?2,xn?1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 （1）证明：2?xn?xn?1?3； （2）求数列?xn?的通项公式。
解：（1）为f(4)?42?8?3?5，故点P(4,5)在函数f(x)的图像上，故由所给出的两点
P(4,5),Qn(xn,f(xn))，可知，直线PQn斜率一定存在。故有
直线PQn的直线方程为y?5?2f(xn)?5xn?4?5(x?4)，令y?0，可求得
?5?xn?2xn?8xn?4(x?4)?xn?2?x?4?x?4xn?3xn?2
所以xn?1?4xn?3xn?2
下面用数学归纳法证明2?xn?3 当n?1时，x1?2，满足2?x1?3
假设n?k时，2?xk?3成立，则当n?k?1时，xk?1?4xk?3xk?2?4?5xk?2，
由2?xk?3?4?xk?2?5?1?也成立
5xk?2?54?2?114?4?5xk?2?3即2?xk?1?3综上可知2?xn?3对任意正整数恒成立。 下面证明xn?xn?1 由xn?1?xn?4xn?3xn?2?xn?4xn?3?xn?2xnxn?22??(xn?1)?4xn?22
由2?xn?3?1?xn?1?2?0??(xn?1)2?4?3，故有xn?1?xn?0即xn?xn?1 综上可知2?xn?xn?1?3恒成立。 （2）由xn?1?或x??1
?xn?1?3?4xn?3xn?2?3?xn?3xn?2?4xn?3xn?2得到该数列的一个特征方程x?4x?3x?2即x2?2x?3?0，解得x?3 ① xn?1?(?1)?x1?3x1?12?32?1134xn?3xn?2??15xn?xn?25②
两式相除可得
xn?1?3xn?1?1?15xn?3xn?1,而???
?xn?3?11故数列??是以?为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com]
35?xn?1?xn?3xn?1??1?()351n?1,故xn?9?53?5n?1n?1?1?1?3?43?5n?1?1。
【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。
【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。
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