令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下： x g′(x) g(x) (0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,3) － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ 当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．
19．（12分）（2019·安徽淮北一中模拟）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品1成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x(x＞0)件产品的销售收入是R(x)＝－4总利润
x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝)．销售商从工厂以每件a元
总产量进货后，又以每件b元销售，且b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．
(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值； (2)求乐观系数λ的值；
(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．
11
【解析】 (1)依题意设总利润为L(x)，则L(x)＝－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40
44000(x＞0)，
1
－x2＋400x－40 0004140 000140 000
∴P(x)＝＝－x－＋400≤－200＋400＝200，当且仅当x＝，
x4x4x即x＝400时等号成立．
故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b＝a＋λ(c－a)，得λ＝
b－a
. c－a
∵b－a是c－b，c－a的比例中项， ∴(b－a)2＝(c－b)(c－a)，
（c－a）－（b－a）c－a?c－ac－a
－1?两边同时除以(b－a)2，得1＝·＝?， ?b－ab－a?b－a?b－a1?15－1－5－15－1
－1·，解得λ＝∴1＝?或λ＝(舍去)．故乐观系数λ的值为. ?λ?λ22240 00040 000
(3)∵厂家平均利润最大，∴a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400.
x400
由b＝a＋λ(c－a)，结合(2)可得b－a＝λ(c－a)＝100(5－1)， ∴b＝100(5＋3)．
故a与b的值分别为400,100(5＋3)．
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