14函数y=5?4x?x2的单调增区间是_________.
解：y=5?4x?x2的定义域是[?5,1]，又g(x)?5?4x?x在区间[?5,?2]上增函数，
2在区间[?2,1]是减函数，所以y=5?4x?x2的增区间是[?5,?2]
15已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2
－3)<0,求x的取值范围.
解：由??3?x?3?3?0?x?6?,故0 －3)=f(3－x2 ),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2 ,即x2 +x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还 应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时， 当x＜2时，即x-2＜0时， ?所以y???(x?1?2)2?94(x?2)????(x?1 2)2?94(x?2)这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x； 当0＜x＜1时，lgx＜0， 所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. 17若f(x)= ax?1x?2在区间（－2，＋?）上是增函数，求a的取值范围 解：设?2?xax1?1ax2?11?x2,f(x1)?f(x2)?x?2?x 12?2?(ax1?1)(x2?2)?(ax2?1)(x1?2)(x1?2)(x2?2) ?(ax1x2?2ax1?x2?2)?(ax1x2?2ax2?x1?2)(x 1?2)(x2?2)?2ax1?x1?2ax2?x2(2a?1)(x1?x(x2)(x?2)1?2?2)(x1?2)(x2?2) 由f(x)= ax?1x?2在区间（－2，＋?）上是增函数得 f(x?f(x?2a?1?0 ∴a＞11)2)?02 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( 12)=－1,当且仅当0 x?y1?xy),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f( x?y1?xy),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( x?x1?x2)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0 x2?x11?x) 1x2 x?x∵0 211?x>0, 1x2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x11?xx<1,由题意知f(x2?x1)<0， 211?x1x2即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 x2?x11?x的范围是解题的焦点. 1x219已知logb189?a,18?5,求log3645 解：∵18b?5,∴log185?b ∴logb?a3645?log1845log36?log185?log189log?log?18184189log(18?b?a?b?a 2182?9)?a2loga1818(9)?a 20知y?loga(2?ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 解：∵y?loga(2?ax)是由y?logau，u?2?ax复合而成，又a＞0 ∴u?2?ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知 y?logau应为增函数，∴a＞1 又由于x 在[0，1]上时 y?loga(2?ax)有意义，u?2?ax又是减函数，∴x＝1时， u?2?ax取最小值是umin?2?a＞0即可， ∴a＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a＜2 21已知函数f(x)?loga(3?ax). （1）当x?[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. （2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如 果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，3?ax＞0，对一切x?[0,2]恒成立，a?0,a?1 显然，函数g(x)= 3?ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝3?2a＞0得到a＜32 ∴a的取值范围是（0，1）∪（1， 32） (2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)?1，即f(1)?loga(3?a)＝1 ∴a＝ 32此时f(x)?log3a(3?2x) 当x?2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处 理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 22已知函数f(x)=lg1?2x?4x?aa2?a?1, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：1?2x?4x?aa2?a?1>0, 且a2 －a+1=(a－1232)+4>0, ∴ 1+2x+4x·a>0, a>?(14x?12x), 当x∈(－∞, 1]时, y=114x与y=2x都是减函数， ∴ y=?(111134x?2x)在(－∞, 1]上是增函数，?(4x?2x)max=－4, ∴ a>－34, 故a的取值范围是(－34, +∞). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换 位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=?(14x?12x)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 1 23若(a?1)?13?(3?2a)?3，试求a的取值范围.
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