江苏省无锡市最新八年级（下）期末数学试卷
一、认真填一填，要相信自己的能力！ 1．当x______时，代数式2x﹣4的值是负数．
2．小明在做一道数学选择题时，经过审题，他知道在A、B、C、D四个备选答案中，只有一个是正确的，但他只能确定选项D是错误的，于是他在其它三个选项中随机选择了B，那么，小明答对这道选择题的概率是______． 3．计算：
=______，
=______．
4．巳知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则k=______． 5．若反比例函数y=
图象在第二、四象限，则m的取值范围为______．（填在横线上）
6．当x≠______ 时，分式有意义；当x=______ 时，分式值为0．
7．若关于x的方程8．若
=，则=______．
有增根，则m的值是______．
9．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面地图上的距离是5cm，这张平面地图的比例尺为______． 10．已知线段a=9cm，c=4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于______cm． 11．如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为______．
12．直线l交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），
过点A、P、Q（Q在直线l上）分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1，△POE的面积为S2，△QOF的面积为S3，则S1、S2、S3的大小关系为______．（用“＜”连接）
二、细心选一选，看完四个选项再做决定!（2012春?靖江市期末）如果a＜b，下列各式中不一定正确的是（ ） A．a﹣1＜b﹣1
B．﹣3a＞﹣3b
C．
D．
14．不等式2（x﹣2）≤x﹣2的非负整数解的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4 ；②；③
；④
；⑤
；⑥分式有（ ）
15．下列各式中：①
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．把分式A．扩大12倍
中的a、b都扩大6倍，则分式的值（ ） B．不变 C．扩大6倍 D．缩小6倍
17．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A．C．
B． D．
18．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D．
19．设有反比例函数y=﹣，（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）为其图象上的三个点，若x1＜0＜x2＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 20．如果不等式组
有解且均不在﹣1＜x＜1内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．1≤m＜5 C．m≥5 D．﹣1≤m≤5
三、耐心做一做，要注意认真审题！（本大题共48分） 21．解下列方程： （1）﹣
=0
（2）
22．解不等式组
23．先化简再求值：
．
，将它的解集表示在数轴上，并求出它的最小整数解．
，其中x=﹣2．
24．（10分）（2012?惠山区校级模拟）如图，A、B两个转盘均被平均分成三个扇形，分别转动A盘、B盘各一次．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．小敏分别转动两个转盘，当两个转盘停止后，小敏把A转盘指针所指区域内的数字记为x，B转盘指针所指区域内的数字记为y．这样就确定了点P的坐标（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标； （2）求点P落在坐标轴上的概率．
25．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；
（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？
26．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？
（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．
27．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点． （1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、认真填一填，要相信自己的能力！ 1．当x ＜2 时，代数式2x﹣4的值是负数． 【考点】解一元一次不等式．
【分析】代数式2x﹣4的值是负数，即2x﹣4＜0，然后解不等式即可求解． 【解答】解：根据题意得2x﹣4＜0， 移项，得2x＜4， 系数化成1得x＜2． 故答案是：＜2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
2．小明在做一道数学选择题时，经过审题，他知道在A、B、C、D四个备选答案中，只有一个是正确的，但他只能确定选项D是错误的，于是他在其它三个选项中随机选择了B，那么，小明答对这道选择题的概率是
．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解；∵四个答案中确定A、B、C、D中D是错误的， ∴还剩三个答案，
∴答对这道选择题的概率是． 故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的求法，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，是解决问题的关键，难度适中． 3．计算：
= 4y ，
2
= 1 ．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式的除法和减法可以求得题目中两个式子的值，从而可以解答本题． 【解答】解：
=
=4y，
2
=
故答案为：4y，1．
2
，
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
4．巳知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则k= ﹣10 ． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】已知反比例函数y=的图象经过点（﹣2，5），则把（﹣2，5），代入解析式就可以得到k的值． 【解答】解：根据题意得：5=故答案为：﹣10．
【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
5．若反比例函数y=
图象在第二、四象限，则m的取值范围为 m＞2 ．（填在横线上）
，解得k=﹣10．
【考点】反比例函数的性质． 【分析】先根据反比例函数y=【解答】解：∵反比例函数y=∴﹣3m+6＜0，解得m＞2． 故答案为：m＞2．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．当x≠ 2 时，分式
有意义；当x= ﹣3 时，分式
值为0．
图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 图象在第二、四象限，
【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件．
【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求得x的值；
（2）根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【解答】解：（1）根据题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2； （2）根据题意得：x﹣9=0，且x﹣3≠0，则x=﹣3． 故答案是：2；﹣3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，分式的值是0，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．若关于x的方程【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得 m﹣1﹣x=0， ∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=2． 故答案为：2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．若
=，则=
．
有增根，则m的值是 2 ．
2
【考点】比例的性质．
【分析】根据已知式子，利用比例的合比性质对原式化简即可得出，即可直接求解． 【解答】解：原式=
=．
【点评】注意观察要求的式子和已知的式子之间的关系，利用合比性质对比例式进行灵活变形．
9．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面地图上的距离是5cm，这张平面地图的比例尺为 1：50000 ． 【考点】比例线段．
【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺，可得出答案．
【解答】解；∵在一张平面地图上的距离是5cm=0.05m，AB两地的实际距离为2500m， ∴图上距离：实际距离=比例尺， ∴
=
，
故答案为：1：50000．
【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，解答此题的关键是明确图上距离：实际距离=比例尺．
10．已知线段a=9cm，c=4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于 6cm cm． 【考点】比例线段．
【分析】根据已知线段a=9cm，c=4cm，线段x是a、c的比例中项，列出等式，利用内项之积等于外项之积即可得出答案
【解答】解：∵线段a=9cm，c=4cm，线段x是a、c的比例中项， ∴=， ∴x=ac=9×4=36， ∴x=±6，x=﹣6（舍去）． 故答案为：6cm．
【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
11．如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为 1 ．
2
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由△ACD∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：AD=AD：AB，又由AC=4，AD=2，即可求得AB的长．
【解答】解：∵△ACD∽△ADB， ∴AC：AD=AD：AB， ∵AC=4，AD=2， ∴AB=
=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．直线l交y轴于点C，与双曲线
交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），
过点A、P、Q（Q在直线l上）分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1，△POE的面积为S2，△QOF的面积为S3，则S1、S2、S3的大小关系为 S3＜S1＜S2 ．（用“＜”连接）
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设PE与双曲线交于M点，延长FQ交双曲线与N点，连接MO，NO，则可以得到三个面积相等的三角形，再利用另外三个三角形与这三个三角形之间的关系即可比较出S1、S2、S3的大小关系． 【解答】解：如图：延长FQ交双曲线于N点，连接MO，NO， ∴S△ADO=S△MEO=S△NFO=S1，
由上图可知：S2＞S△MEO，S3＜S△NFO， ∴S2＞S1＞S3． 故答案为：S3＜S1＜S2．
【点评】本题是一道反比例函数综合题，解题的关键是了解反比例函数上的一点向坐标轴作垂线，所构成的三角形的面积等于比例系数的绝对值的一半．
二、细心选一选，看完四个选项再做决定!（2012春?靖江市期末）如果a＜b，下列各式中不一定正确的是（ ） A．a﹣1＜b﹣1
B．﹣3a＞﹣3b
C．
D．
【考点】不等式的性质．
【分析】利用不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：（1）如果a＜b，根据不等式两边同时减去一个数，不等号的方向不改变，则有a﹣1＜b﹣1．故A选项正确．
（2）如果a＜b，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，则有﹣3a＞﹣3b．故B选项正确．
（3）如果a＜b，令a=﹣2，b=﹣1，则有
＞
即＞，所以＜不成立．故C选项错误．
（4）如果a＜b，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不改变，则有＜．故D选项正确． 故选：C．
【点评】此题考查的是不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握不等式的基本性质．
14．不等式2（x﹣2）≤x﹣2的非负整数解的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】先求出不等式的解集，然后求其非负整数解． 【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤x﹣2得x≤2， 因而非负整数解是0，1，2共3个． 故选C．
【点评】熟练掌握不等式的基本性质，正确求出不等式的解集，是解此题的关键．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．下列各式中：①
；②；③
；④
；⑤
；⑥分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断． 【解答】解：①分母中含有π，是具体的数，不是字母，所以不是分式； ②分母中含有字母a，是分式； ③是等式，不是分式； ④分母中没有字母，不是分式； ⑤分母中含有字母x，是分式； ⑥分母中没有字母，不是分式； 分式有②⑤2个， 故选B．
【点评】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式，注意π是一个具体的数，不是字母；分式是代数式，不是等式． 16．把分式A．扩大12倍
中的a、b都扩大6倍，则分式的值（ ） B．不变 C．扩大6倍 D．缩小6倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】依题意分别用6a和6b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：分别用6a和6b去代换原分式中的a和b， 原式=
=
=6
，
可见新分式的值是原分式的6倍． 故选C．
【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
17．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A．C．
B． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14，据此列方程即可． 【解答】解：读前一半用的时间为：读后一半用的时间为：由题意得，整理得：故选D．
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
18．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
+
+
． =14， =1．
，
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【解答】解：由矩形的面积4=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y=（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限． 故选B．
【点评】反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
19．设有反比例函数y=﹣，（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）为其图象上的三个点，若x1＜0＜x2＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的解析式，画出图象，再根据其函数图象的单调性（增减性）解答即可． 【解答】解：∵k＜0，
∴函数图象在第二、四象限内（如图所示），在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y2＜y3＜y1． 故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．解答此题时，由函数图象的性质来判断函数图象上点的函数值的大小，同学们要灵活掌握．
20．如果不等式组
有解且均不在﹣1＜x＜1内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．1≤m＜5 C．m≥5 D．﹣1≤m≤5 【考点】不等式的解集．
【分析】先解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就能得到使不等式成立的未知数的值，即可作出判断．
【解答】解：要使不等式故选B．
【点评】本题考查不等式组求解集的情况，必需大于小的小于大的才有解，且解且不在﹣1＜x＜1内，故可求出答案．
三、耐心做一做，要注意认真审题！（本大题共48分） 21．解下列方程： （1）﹣
=0
有解且不在﹣1＜x＜1内，m必需满足的条件是1≤m＜5．
（2）．
【考点】解分式方程；解一元一次方程．
【分析】（1）方程两边同乘x（x﹣2）得出方程3（x﹣2）﹣x=0，求出方程的解，再代入x（x﹣2）检验即可；
（2）方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 出方程（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=16，求出方程的解，再代入（x+2）（x﹣2）检验即可． 【解答】（1）解：﹣
=0，
2
方程两边同乘x（x﹣2），得 3（x﹣2）﹣x=0， 解得：x=3，
检验：当x=3时，x（x﹣2）≠0， ∴x=3是原方程的解．
（2）解：
﹣1=
，
2
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得 （x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=16， 解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，（x+2）（x﹣2）=0， ∴x=﹣2是增根， ∴原方程无解．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解分式方程的应用，关键是把分式方程转化成整式方程，注意：解分式方程一定要检验．
22．解不等式组
，将它的解集表示在数轴上，并求出它的最小整数解．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴得到不等式组的解集，即可求出最小整数解．
【解答】解：由①得x≥﹣1， 由②得x＜5，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜5， 解集在数轴上表示为， x的最小整数解为x=﹣1．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集．
23．先化简再求值：【考点】分式的化简求值．
【分析】根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可． 【解答】解：原式====
﹣ ，
?
﹣
，其中x=﹣2．
∵x≠﹣2， ∴原式=
=．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的约分、通分是解题的关键．
24．（10分）（2012?惠山区校级模拟）如图，A、B两个转盘均被平均分成三个扇形，分别转动A盘、B盘各一次．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．小敏分别转动两个转盘，当两个转盘停止后，小敏把A转盘指针所指区域内的数字记为x，B转盘指针所指区域内的数字记为y．这样就确定了点P的坐标（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标； （2）求点P落在坐标轴上的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）用树状图列举出2步实验的所有结果即可； （2）看点P落在坐标轴上的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）共9种情况，落在坐标轴上的有5种情况， ∴概率为．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0．
25．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；
（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？ 【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）首先根据题意，求解可得：S=V?t=480，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间为反比例函数关系式，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）由（1）中的解析式和t=4.8可进一步求解可得v的值；
（3）根据题意或结合图象可知，分别计算v=120时和v=60时t的值即可求得范围． 【解答】解：（1）∵s=80×6=480
∴汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式：
（2）当t=4.8时，v=
=100，
答：返回时的速度为100千米/小时．
（3）如图，k=480＞0，t随v的减小而增大，
当v=120时，t=4， 当v=60时，t=8， ∴4≤t≤8．
答：根据限速规定，返程时间不少于4小时且不多于8小时．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？
（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利． 【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】（1）等量关系为：种种兔的数量增加了20只B=种种兔的2倍少10只，据此列方程即可求解； （2）关系式为：A种种兔少于B种种兔；共获利≥280，根据这两个不等关系列不等式组即可求解． 【解答】解：
（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意得 x+20=2x﹣10 解得x=30
即一年前李大爷共买了60只种兔．
（2）设李大爷卖A种兔y只，则卖B种兔30﹣y只，则由题意得 y＜30﹣y①
15y+（30﹣y）×6≥280② 解①得y＜15 解②得y≥
即≤y＜15．
≈11.11
∵y是整数，
∴y=12，13，14． 即李大爷有三种卖兔方案
方案一：卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利12×15+18×6=288（元）； 方案二：卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利13×15+17×6=297（元）； 方案三：卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利14×15+16×6=306（元）． 显然，方案三获利最大，最大利润为306元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的关系式和不等关系式组．利用不等式找出x的取值范围并根据实际意义求得x的值获取方案是常用的方法，要掌握．
27．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点． （1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=3x﹣4上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
【解答】解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a）， ∵点A在直线y=3x﹣4上， ∴a=3a﹣4， 解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）， ∵双曲线y=也经过A点， ∴k=4；
（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点， 则△APQ为所求作的等腰直角三角形． 理由：在△AOP与△ABQ中， ∵∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ， 在△AOP和△ABQ中∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形． ∵B（4，0）， ∴Q（4，1），
经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．
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【点评】本题考查了反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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