学业分层测评（三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] C．[lg 6，＋∞)
B．(－∞，3lg 2] D.[3lg 2，＋∞)
3
【解析】 ∵6＝x＋y＋z≥3xyz， ∴xyz≤8. ∴lg x＋lg y＋lg z ＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2. 【答案】 B
1
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋x≥2
3xx414xx4
x·x＝2，x＋x2＝2＋2＋x2≥32·2·x2＝3，?.启发
a
我们可能推广结论为：x＋xn≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )
A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1 a
【解析】 x＋xn＝【答案】 A
3．设0 1184A.8 B．1 C.3 D.27 【解析】 ∵0 1 ∴x(1－x)＝2·2x·(1－x)·(1－x) 2 a ＋xn，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A. 1?2x＋?1－x?＋?1－x??34 ?＝. ≤2?3??271 当且仅当x＝3时，等号成立． 第- 1 -页 共6页 【答案】 D a＋b＋c34．已知a，b，c∈R＋，x＝3，y＝abc，z＝ a2＋b2＋c2，则( ) 3 【导学号：32750016】 A．x≤y≤z C．y≤z≤x B．y≤x≤z D.z≤y≤x 2222 a＋b＋c32a＋b＋c2?a＋b＋c?【解析】 由a，b，c大于0，易知3≥abc，即x≥y.又z＝，x＝， 39 a2＋b2＋c2＋2?ab＋bc＋ca?3?a2＋b2＋c2?a2＋b2＋c2 且x＝≤＝， 993 2 ∴x2≤z2，则x≤z， 因此z≥x≥y. 【答案】 B 5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为( ) A．2 C．8 B．7 D.1 xx6 【解析】 ∵6＝x＋3y＋4z＝2＋2＋y＋y＋y＋4z≥6x2y3z， x ∴x2y3z≤1，当2＝y＝4z时，取“＝”， 1 即x＝2，y＝1，z＝4时，x2y3z取得最大值1. 【答案】 D 二、填空题 a＋b 6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________． b＋c2a＋b＋c 【解析】 由题意知a＋(b*c)＝a＋2＝， 2?a＋b?＋?a＋c?2a＋b＋c (a＋b)*(a＋c)＝＝， 22所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)． 【答案】 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c) 7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋ 1 的最小值为________． ?a－2??b－3? 第- 2 -页 共6页 【解析】 ∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0， 则a＋b＋ 3 11 ＝(a－2)＋(b－3)＋＋5 ?a－2??b－3??a－2??b－3? 1 ＋5＝8. ?a－2??b－3? ≥3?a－2?×?b－3?× 当且仅当a－2＝b－3＝【答案】 8 1 ，即a＝3，b＝4时等号成立． ?a－2??b－3? 11 8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤27；②abc≥27；③a21 ＋b2＋c2≥3. 其中正确的不等式序号是________． 【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， 3 ∴1＝a＋b＋c≥3abc， 11?1? 0 ?? 从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1， 1 因此1≤3(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥3，③正确． 2 2 2 2 2 2 3 【答案】 ①②③ 三、解答题 1112 9．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋（a＋b＋c）≥63，并确定a，b，c为 2 2 2 何值时，等号成立． 【证明】 因为a，b，c均为正数，由算术-几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， -1113＋＋≥3(abc). abc -?111?2 所以?a＋b＋c?≥9(abc)3. ?? 2 1 2 3 ① ② ?111?2 故a＋b＋c＋?a＋b＋c? ?? 2 2 2 第- 3 -页 共6页 ≥3(abc)＋9(abc). 又3(abc)＋9(abc)≥227＝63， ③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立． 4 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立． 10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3. 111 (1)求x＋y＋z的最小值； (2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9. 11133 【解】 (1)因为x＋y＋z≥3xyz>0，x＋y＋z≥>0， 3xyz111?111?所以(x＋y＋z)?x＋y＋z?≥9，即x＋y＋z≥3， ??111 当且仅当x＝y＝z＝1时，x＝y＝z取最小值3. (2)证明：x2＋y2＋z2＝ x2＋y2＋z2＋?x2＋y2?＋?y2＋z2?＋?z2＋x2? 3x2＋y2＋z2＋2?xy＋yz＋zx?≥ 3?x＋y＋z?2＝＝3. 3 又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0， 所以3≤x2＋y2＋z2<9. [能力提升] 1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( ) 11 A．V≥π B．V≤π C．V≥8π D．V≤8π 6－4r6－4r 【解析】 设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·2 2 3 2-3 23 2-3 232-3 第- 4 -页 共6页
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