第8讲 三角函数的图象与性质
题型一| 三角函数的概念及其基本关系、诱导公式
π??π?4? (1)已知cos?－α?＝，则sin?α＋?＝________. 3??6?5?
(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
?3π?cos?＋θ?＋cosπ－θ?2?则＝________.
π??sin?－θ?－sinπ＋θ?2?
(3)(2016·合肥模拟)如图8－1，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0?
?31?
，?，当秒针从P0(此时t＝0)正常?22?
开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系是________．
图8－1
(1)
π?41?ππ?? (2) (3)y＝sin?－t＋? [(1)由题意得：sin?α＋?＝
6?3?52?30?
?π?π??sin?－?－α??
???2?6
?π?4
＝cos?－α?＝.
?6?5
?3π＋θ?＋cosπ－θ?
?2?
(2)根据直线的斜率的定义得tan θ＝3，
?π?sin?－θ?－sinπ＋θ?2?
cos?
sin θ－cos θtan θ－11
＝＝. cos θ＋sin θ1＋tan θ2
1
＝
π
(3)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－
6π
，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝30
?ππ?sin?－t＋?.]
6??30
【名师点评】 1.涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
2．应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
?π?1
1．(2016·南通调研一)已知sin?x＋?＝，则
6?3??5π??2?π
sin?x－?＋sin?－x?的值是________．
6???3?
5?π???5π????π??2?π2?π
[sin?x－?＋sin?－x?＝sin??x＋?－π?＋sin?－?x＋??＝－
6??6?6?9??3?????2?π?5?π?2?sin?x＋?＋1－sin?x＋?＝.]
6?6?9??
2．如图8－2，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点Psin 2α＋cos 2α＋1?34?的坐标为?－，?，则＝________.
1＋tan α?55?
图8－2
18
[由三角函数定义， 25
34
得cos α＝－，sin α＝，
552sin αcos α＋2cosα∴原式＝
sin α1＋
cos α
2
2
＝
2cos αsin α＋cos α
sin α＋cos αcos α?3?2182
＝2cosα＝2×?－?＝.]
?5?25
3．如图8－3所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，→
此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．
【导学号：19592026】
图8－3
(2－sin 2,1－cos 2) [设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧作PC⊥x轴，垂足为C；BD⊥PC，垂足为D.
2
长为2，∠ABP＝＝2.
1
π
∴∠PBD＝2－. 2
设P(x，y)，由三角函数定义，
x＝2－1×cos?2－?＝2－sin 2，
2
??
π?
?
π??2－y＝1＋1×sin?＝1－cos 2， 2???→
∴OP的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．]
题型二| 三角函数的图象及应用
3
π?? (1)函数y＝sin?2x－?的图象可由函数y＝sin x的图象作两次变换得到，第3??
一次变换是针对函数y＝sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的，现给出下列四个变换：
π
A．图象上所有点向右平移个单位；
6π
B．图象上所有点向右平移个单位；
3
C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)； 1
D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)．
2请按顺序写出两次变换的代表字母：________.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图8
?π?－4所示，则f??的值为________． ?3?
图8－4
π
(1)BD或DA (2)1 [(1)由函数y＝sin x的图象上所有点向右平移个单位，可得函
3π?1?π??数y＝sin?x－?，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得函数y＝sin?2x－?，
3?3?2??则两次变换依次为BD.
1
或，由函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得函数y＝sin 2x，
2再将图象上所有点向右平移
(2)由图知：A＝2，
π
个单位，则两次变换依次为DA. 6
3T11ππ2π?π?＝－，T＝π，ω＝＝2.又函数过点?，2?，所以有4126T?6?
4
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